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二叉树

2017-12-07 Poll的笔记 IT哈哈

 二叉树是数据结构中一种重要的数据结构,也是树表家族最为基础的结构。

  二叉树的定义:二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点),二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒。二叉树的第i层至多有2i-1个结点;深度为k的二叉树至多有2k-1个结点;对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。

  二叉树的示例

  满二叉树和完全二叉树:

  满二叉树:除最后一层无任何子节点外,每一层上的所有结点都有两个子结点。也可以这样理解,除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值,所有叶子结点必须在同一层上。

  满二叉树的性质:

  1) 一颗树深度为h,最大层数为k,深度与最大层数相同,k=h;

  2) 叶子数为2h;

  3) 第k层的结点数是:2k-1;

  4) 总结点数是:2k-1,且总节点数一定是奇数。

  完全二叉树:若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~(h-1)层) 的结点数都达到最大个数,第h层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。

  注:完全二叉树是效率很高的数据结构,堆是一种完全二叉树或者近似完全二叉树,所以效率极高,像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能优化,二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高,而平衡性基于完全二叉树。

  二叉树的性质

  1) 在非空二叉树中,第i层的结点总数不超过2i-1, i>=1;

  2) 深度为h的二叉树最多有2h-1个结点(h>=1),最少有h个结点;

  3) 对于任意一棵二叉树,如果其叶结点数为N0,而度数为2的结点总数为N2,则N0=N2+1;

  4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2(n+1);

  5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储,则结点之间有如下关系:

    若I为结点编号则 如果I>1,则其父结点的编号为I/2;

    如果2I<=N,则其左儿子(即左子树的根结点)的编号为2I;若2I>N,则无左儿子;

    如果2I+1<=N,则其右儿子的结点编号为2I+1;若2I+1>N,则无右儿子。

  6)给定N个节点,能构成h(N)种不同的二叉树,其中h(N)为卡特兰数的第N项,h(n)=C(2*n, n)/(n+1)。

  7)设有i个枝点,I为所有枝点的道路长度总和,J为叶的道路长度总和J=I+2i



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