随机振动分析的发展现状及虚拟激励法的基本原理
随机振动分析
的发展现状
随机性是自然现象的基本特征之一。随机振动分析对许多工程领域都十分重要，例如：
地震是随机振动，是对人类最危险的自然灾害；
桥梁和高柔结构的风激随机振动；
随机海浪作用下海洋平台、舰船的安全性；
火车、汽车要开得快，必须控制随机振动；
飞机、导弹也在随机气动环境中运行。
随机振动作为一门新兴的技术学科，虽然已经积累了丰富的理论成果。但是在工程领域却远没有得到充分的应用。甚至于连线性分析也没有做好。
关键原因：计算方法复杂低效。
典型的例子：近二三十年来，大跨度桥梁越造越多，抗震分析应考虑各桥墩的随机运动，成为研究的焦点。例如美国国家科学基金会(NSF)资助了一些很著名的工作：
加州大学伯克利分校：工学院院长， 地震研究中心主任，A.Der Kiureghian(丘里金) 教授。
普林斯顿大学：E.H.Vanmarcke(范马克)教授。
但是，经多年努力，他们都没能解决好高阶随机微分方程的求解。提出的近似解法也相当繁琐。不实用。
丘里金正式发表的研究报告(1992)
虽然随机振动以其统计特性而很吸引人，它却还不能成为执业工程师所接受的方法。
范马克正式发表的研究报告(1994)
随机振动方法用于地震工程还是不现实的，除非是对于只有少量自由度和地面节点的简单结构。
Vanmarcke与Kiureghian都提出了近似的反应谱方法。结果发生了公开争论，见ASCE，EM121(9)，1995。
Vanmarcke批评Kiureghian的算法包含ΣΣΣΣ ，计算效率太低。而Kiureghian批评Vanmarcke方法，只含ΣΣΣ，看起来很吸引人，但是本质上是SRSS法，可能产生很大的误差。
其它著名学者在这方面的研究工作：
大跨度结构多点随机激励分析成为令人瞩目的热点问题。尽管只是线性随机振动分析，在工程中也很难应用。
上述困难，已经被大连理工大学教授林家浩提出的用一个全新方法：虚拟激励法(Pseudo-excitation method，PEM)完全解决了.
虚拟激励法的先进性究竟如何？
1998-2000，在中美两国科学基金会的资助下，钟万勰，林家浩三次访问美国，在美国20多个著名大学和设计研究机构作了学术报告。引起了比较大的反响。
钟万勰林家浩三次访美
林家浩在加州理工学院做学术报告后与T.K.Caughey合影
STATIONARY平稳地面激励
Case 1. uniform ground excitations(均匀地面运动)
Case 2. phase-lags between ground nodes considered(行波)
Case 3. partial coherency were also taken into account(行波效应+部分相干效应)
NON-STATIONARY非平稳
Case 4. uniform ground excitations
Case 5. phase-lags between ground nodes were considered
Case 6. partial coherency between ground nodes were also taken into account
平稳随机信号由大量简谐分量组成
荷载-响应功率谱转换的计算是随机振动工程应用的核心问题。
已知：Sxx(ω)~ 激励x(t)的功率谱密度，H(ω)~ 响应y和z的频率响应函数。
要计算：y和z的功率谱密度，亦即：Syy(ω) Syz(ω)
如果计算得到简谐响应，则可由它们计算得y和z的功率谱密度：
自功率谱密度：
互功率谱密度：
它们的矩阵形式为：
其中：~ 代表复共轭，T代表矩阵转置。
以结构抗震分析为例：
令虚拟地面加速度为：
则式(1)成为
其解为
按PEM，{y(t)} 的功率谱密度为：
如果将（4）代入（5）并展开，可得到常规的CQC公式：
其SRSS近似是
(1) 按虚拟激励法（Pseudo Excitation Method (PEM)）
1 multiplication operation only!
(2) 按常规CQC法（Conventional CQC Method）
90000 multiplication operations
(3) 按SRSS近似（Conventional SRSS Approximation）
300 multiplication operations 被许多专著广泛推荐的方法
在一些文献中亦将虚拟激励法称之为快速CQC算法，它不能略去交叉项，所以没有SRSS形式。
本文摘录自林家浩等在2009年同济大学随机振动理论与应用暑假讨论班上的报告《虚拟激励法的进展与前瞻》。
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