阻尼和应力应变的关系及常见的材料阻尼性能参数
振动着的物体，即使与外界完全隔绝，其机械振动也会逐渐衰减下来。这种使机械能量耗散变为热能的现象，叫做内耗，即固体在振动当中由于内部的原因而引起的能量消耗。在英文文献中通用“internal friction”表示内耗。另外，在工程上用“阻尼本领”(damping capacity)，对于高频振动则称为“超声衰减”(ultrasonic attenuation)，其实与内耗一样都是表征同一个物理过程。
产生内耗(阻尼)的原因是固体内部的结构特点和结构缺陷，因而通过内耗(阻尼)测量可以灵敏地反映固体内部结构的特点以及各种结构缺陷的运动变化和交互作用的情况。
由此可见，内耗是一种很好的研究晶界的工具，它能够在不破坏试样的情况下，查知材料中晶界的动态性质。内耗与静态观测手段相配合，可以加深对晶界性质及其动力学行为的认识。
总的来说，我们可以认为驰豫、后效是非弹性在静态过程中的表现，而阻尼、内耗则是非弹性在动态过程中的表现.比较起来，非弹性对振动过程的影响更为重要，故人们往往以对内耗(阻尼)的实验研究来代替对非弹性的实验研究。
1. 阻尼和应力应变的关系
根据弹性理论中的虎克定律，材料在弹性变形过程中应力与应变之间满足如下关系：
其中M代表弹性模量E或剪切摸量G。
上述公式的成立应满足三个条件，即：应变对应力的响应是线性的；应力和应变相位相同；应变是应力的单值函数。但实际加载过程中，应力与应变之间往往不能同时满足上述三个条件，即非理想弹性；此时将产生阻尼，非弹性常表现为滞弹性和粘弹性，滞弹性根据应力应变之间是否满足线性关系分为线性和非线性滞弹性，因此阻尼也可分为线性和非线性滞弹性阻尼及粘弹性阻尼，如图1所示。
图1 应力-应变回线
图2 在周期应力作用下的应力-应变关系
当材料受循环载荷作用时，应力应变之间的实际关系如下：
其中σ0和ε0为应力和应变的振幅；t为时间；τ为应变波形滞后应力波形的时间；ω为振动的角频率，φ为应变滞后应力的相位角差；T振动周期，如图2所示。
根据复模量定义：
其中η为粘弹性阻尼材料的损耗因子(又称损耗正切或阻尼系数)，它是衡量阻尼材料耗散振动能量的主要指标之一，它与每周振动所损耗的能量与储存能量之比成正比。表示为
式中：E*为复拉伸模量；E′为复拉伸模量的实部，也称为贮能拉伸模量，可表示为：
E"为复拉伸模量的虚部，它决定阻尼材料受到拉压变形时转变成热的能量损耗，所以可表示为：
2. 常见的用于表征材料阻尼性能的参数及它们之间的关系
(1) 损耗系数η 、损耗正切 tanφ 和损失角φ
损耗系数为损失摸量与存储摸量之比，其与损耗正切和损失角的关系如下：
材料的阻尼能力越高，相位差角越大，因此可用相位差角φ来表征材料阻尼能力的大小在实际应用中，如果内耗很小，则相位差角的测量是很困难的，因此该法适用于内耗较大的情形。
(2) 比阻尼( S.D.C 或ψ )
材料受循环载荷，应变落后于应力，在应力与应变曲线上形成一个滞后圈，如图1所示。
振动循环一周中，损失能量ΔW为：
存储的最大能量W为：
在高阻尼合金的研究中，习惯采用ΔW/W来衡量内耗的大小，称为“比阻尼性能”S.D.C；而物理上为了与阻尼的电磁回路相对应，常采用Q⁻¹来表示阻尼，这里Q时振动系统的品质因子。类似于电磁回路中品质因子的定义：
(3) 对数衰减率δ
图3 振动的自由衰减曲线
材料在自由振动过程中，其振动幅度将逐渐衰减，如图3所示。衰减得越快，表明材料的阻尼能力越高，材料的阻尼性能与相邻两振幅间有如下关系：
进一步推导可知：
这适用于内耗很小时，即
其内耗值为：
式中，δ为对数衰减率；An、An+1分别为第n次、第n+1次振动时的振幅，n为振动次数(n=1，2，3，…)。由此可见，对数衰减率表征了振幅的衰减程度，它的值越大，则振幅衰减越大，阻尼性能越高。此方法属于共振法的一种，适于测试声频阻尼。
(4) 品质因子倒数Q⁻¹
图4 强迫振动中的共振峰
用不同频率的外力来激发试样，当外加应力的频率等于试样的共振频率时，则试样振动的振幅最大，如图4 所示。在同样的情况下，材料阻尼性能越高，则共振振幅越小，共振峰越宽，因此可用共振峰的尖锐程度来表征材料阻尼能力的大小，即材料的阻尼与振动振幅为共振振幅一半时所对应的频率差值和共振频率有下列关系：
式中Q⁻¹为品质因子的倒数；Δf为共振振幅一半处频率差值f2-f1(Hz)；fr为共振频率值(Hz)。当内耗较小时，共振峰很尖锐， 则共振峰宽不易测试；内耗越大，共振峰越宽，测量越准。此方法与对数衰减率一样，适于测试声频阻尼。
(5) 超声衰减
在兆频范围内常用脉冲法激发振动，内耗使用穿过材料的脉冲声波的衰减来测量，衰减系数β定义为
因此δ可用下式表示：
λ为声波波长，则
3. 内耗(阻尼)量度值的换算及测量方法选择
对衰减较小的场合，tanφ<0.1，通常用tanφ、Q⁻¹或η来表征材料的阻尼性能，它们之间存在如下关系（近似式）：
但是，当阻尼较大时(Q⁻¹≥10⁻²) 则有两种观点：一种精确表达式为：
根据上式，当Q⁻¹=10⁻²时，则近似式的误差约0.5%；当Q⁻¹=10⁻¹时，近似式的误差5%左右。
另一观点由朱贤方和水嘉鹏等提出：
根据(1-23) 式，当Q⁻¹= 5×10⁻³时，近似式的误差达到1% , 当Q⁻¹=10⁻¹时，近似式的误差在50%以上。两种论点在这一基础问题上存在这么大的偏差，迫切需要澄清。
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