几种经典功率谱估计方法的实现（Matlab）及其局限性

功率谱估计在分析平稳各态遍历随机信号频率成分领域被广泛使用，并且已被成功应用到雷达信号处理、故障诊断等实际工程中。本文给出了经典功率谱估计的几类方法，并通过Matlab的实验仿真对经典功率谱估计方法性能进行了分析，最后说明了经典功率谱估计法的局限性和造成这种局限性的原因。

给定一个标准的正弦信号，我们可以通过傅里叶变换来分析它的频率成分。然而，实际工程应用中，由于存在着各种干扰、噪声，我们得到的信号往往不是理想的，如图1这种信号，具有不确定性，幅度不能预知，非周期，但往往服从一定的统计特性，这种信号叫作随机信号。需要注意的是，本文所说的随机信号是指平稳各态遍历的随机信号，关于非平稳随机信号的分析方法[1]本文不予讨论。

图1 一种随机信号时域形式

对于图1的随机信号，我们可以通过功率谱来分析它的频率成分，如图2所示为图1随机信号的功率谱。实际过程中，我们只能获得随机信号的一些离散数据点（假设为N个），本文将讨论如何利用这N个数据点，来得到一个"非精确"的功率谱来对真实随机信号的功率谱进行估计，并讨论如何更好的估计。

图2 随机信号功率谱

在介绍具体的功率谱估计方法之前，首先来来接一下如何来评价我们得出的这个"非精确"的功率谱的好坏呢？

评价功率谱性能好坏的标准有很多，本文只给出两个影响最大的标准：分辨率和方差。分辨率即功率谱上能够区分的最小相邻频率成分，分辨率越高，我们观察信号的频率成分越清晰；方差大小则反映到功率谱波动性的大小，如果方差太大，功率谱波动性大，则很容易造成有用的频率成分被噪声淹没。所以，我们希望得到的这个"非精确"的功率谱，分辨率越高越好，方差越小越好。

同时，我们给出概率论与数理统计中所学的一致估计和非一致估计的概念，假定真实信号的功率谱为S(w)，则满足一致估计的条件是，估计得到的"非精确"功率谱符合以下公式：

一、周期图法

已知N个离散的数据点uN(n)，对这些数据点进行傅里叶变换，可得到：

再对上式取模的平方，除以N，即可得到一个"非精确"的谱，如下式，这就是周期图法的原理。

下面我们通过Matlab仿真来分析采样点数N对功率谱性能好坏的影响。我们在Matlab中通过三个正弦函数和白噪声叠加，构造了一个随机信号。其数学形式如下式：

其中频率分别为50Hz、125Hz、135Hz，幅值分别为1、1.5、1，相位为相互独立在[-π，π]上服从均匀分布随机相位，v(n)为均值为0，方差为1的实值高斯白噪声，采样频率为1000。信号的时域形式如图3所示。

图3 实验所用的随机信号

采样点数N分别取128、256、512和1024，周期图法matlab代码如下：

Fs=1000;

f1=50;

f2=125;

f3=135;

N=128;

Nfft=N;

n=0:N-1;

t=n/Fs;

%采用的时间序列

xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));

figure;

plot(n,xn);

grid on;

title('时域信号');

P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

f=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:N/2),P(1:N/2));

grid on;

title('功率谱（dB图）');

ylabel('功率谱/dB');

xlabel('频率/Hz');

Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));

%绘制功率谱曲线

xlabel('频率/Hz');

ylabel('功率谱');

title('周期图 N=128');

grid on;

std(Pxx)^2

N=256;

Nfft=N;

n=0:N-1;

t=n/Fs;

%采用的时间序列

xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));

figure;

plot(n,xn);

grid on;

title('时域信号');

P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

f=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:N/2),P(1:N/2));

grid on;

title('功率谱（dB图）');

ylabel('功率谱/dB');

xlabel('频率/Hz');

Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));

%绘制功率谱曲线

xlabel('频率/Hz');

ylabel('功率谱');

title('周期图 N=256');

grid on;

std(Pxx)^2

N=512;

Nfft=N;

n=0:N-1;

t=n/Fs;

%采用的时间序列

xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));

figure;

plot(n,xn);

grid on;

title('时域信号');

P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

f=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:N/2),P(1:N/2));

grid on;

title('功率谱（dB图）');

ylabel('功率谱/dB');

xlabel('频率/Hz');

Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));

%绘制功率谱曲线

xlabel('频率/Hz');

ylabel('功率谱');

title('周期图 N=512');

grid on;

std(Pxx)^2

N=1024;

Nfft=N;

n=0:N-1;

t=n/Fs;

%采用的时间序列

xn=cos(2*pi*f1*t)+1.5*cos(2*pi*f2*t)+cos(2*pi*f3*t)+1.5*randn(size(n));

figure;

plot(n(1:1000),xn(1:1000));

grid on;

title('时域信号');

P=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/N);

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

f=(0:length(P)-1)*Fs/length(P);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:N/2),P(1:N/2));

grid on;

title('功率谱（dB图）');

ylabel('功率谱/dB');

xlabel('频率/Hz');

Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:N/2),Pxx(1:N/2));

%绘制功率谱曲线

xlabel('频率/Hz');

ylabel('功率谱');

title('周期图 N=1024');

grid on;

std(Pxx)^2

以上代码可得到的功率谱分别如图4、图5、图6和图7所示。分辨率能够直观的通过功率谱图形看出，方差的数值由表1给出。

图4 N=128时周期图法得到的功率谱

图5 N=256时周期图法得到的功率谱

图6 N=512时周期图法得到的功率谱

图7 N=1024时周期图法得到的功率谱

表1 不同N值得到功率谱的方差值

通过上面实验结果的比较，我们很容易发现，周期图法得到的功率谱随着数据点数N的增大，分辨率变大、方差变也大。

二、平均周期图法

周期图法得到的功率谱与我们所期望的"分辨率大、方差小"是矛盾的。为了进一步降低方差，将N个观测样本数据点uN(n)分为L段，每段数据长度为M，分别对每段数据求周期图功率谱估计，然后求平均值，这种方法称平均周期图法。

那么这种方法会如何改善方差呢？下面给出证明：

其中：

由上我们可以看出，平均周期图法将原来的方差变为原来的1/L，L为分段数。

平均周期图法性能

取采样点数N为1024，分段数分别为8、4、2，平均周期图法的matlab代码如下：

clear;

Fs=1000;

f1=50;

f2=125;

f3=135;

n=0:1/Fs:1;

xn=cos(2*pi*f1*n)+1.5*cos(2*pi*f2*n)+cos(2*pi*f3*n)+1.5*randn(size(n));

N=1024;

Nsec=512;

%数据的长度和FFT所用的数据长度

Pxx1=abs(fft(xn(1:512),Nsec).^2)/Nsec; 

%第一段功率谱

Pxx2=abs(fft(xn(513:1000),Nsec).^2)/Nsec;

%第二段功率谱

Pxx=10*log10((Pxx1+Pxx2)/2);

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

(std((Pxx1+Pxx2)/2))^2

f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));

%绘制功率谱曲线

xlabel('频率/Hz');

ylabel('功率谱/dB');

title('N=2*512');

grid on;

N=1024;

Nsec=256;

%数据的长度和FFT所用的数据长度

Pxx1=abs(fft(xn(1:256),Nsec).^2)/Nsec; 

%第一段功率谱

Pxx2=abs(fft(xn(257:512),Nsec).^2)/Nsec;

%第二段功率谱

Pxx3=abs(fft(xn(513:768),Nsec).^2)/Nsec;

%第三段功率谱

Pxx4=abs(fft(xn(769:1000),Nsec).^2)/Nsec;

%第四段功率谱

Pxx=10*log10((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4)/4);

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

std((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4)/4)^2

f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));

%绘制功率谱曲线

xlabel('频率/Hz');

ylabel('功率谱/dB');

title('N=4*256');

grid on;

N=1024;

Nsec=128;

%数据的长度和FFT所用的数据长度

Pxx1=abs(fft(xn(1:128),Nsec).^2)/Nsec; 

%第一段功率谱

Pxx2=abs(fft(xn(129:256),Nsec).^2)/Nsec;

%第二段功率谱

Pxx3=abs(fft(xn(257:384),Nsec).^2)/Nsec;

%第三段功率谱

Pxx4=abs(fft(xn(385:512),Nsec).^2)/Nsec;

%第四段功率谱

Pxx5=abs(fft(xn(513:640),Nsec).^2)/Nsec; 

%第五段功率谱

Pxx6=abs(fft(xn(641:768),Nsec).^2)/Nsec;

%第六段功率谱

Pxx7=abs(fft(xn(769:896),Nsec).^2)/Nsec;

%第七段功率谱

Pxx8=abs(fft(xn(897:1000),Nsec).^2)/Nsec;

%第八段功率谱

Pxx=10*log10((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4+Pxx5+Pxx6+Pxx7+Pxx8)/8);

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

std((Pxx1+Pxx2+Pxx3+Pxx4+Pxx5+Pxx6+Pxx7+Pxx8)/8)^2

f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);

%给出频率序列

figure;

plot(f(1:Nsec/2),Pxx(1:Nsec/2));

%绘制功率谱曲线

xlabel('频率/Hz');

ylabel('功率谱/dB');

title('N=8*128');

grid on;

以上代码可得到的功率谱分别如图8、图9、图10所示。分辨率能够直观的通过功率谱图形看出，方差的数值由表2给出。

图8 L=8时平均周期图法得到的功率谱

图9 L=4时平均周期图法得到的功率谱

图10 L=2时平均周期图法得到的功率谱

表2 不同L值得到功率谱的方差值

L=1时，平均周期图法退化为周期图法。通过上面实验结果的比较，我们很容易发现，平均周期图法得到的功率谱随着分段数L变大，方差变小，但分辨率变小。

当观测样本序列数据个数N固定时，要降低方差需要增加分段数L。当N不大时分段长度M取值较小，则功率谱分辨率降低到较低的水平。若分段数L固定时，增加分辨率需要分段长度M，则需要采集到更长的检测数据序列。实际中恰恰是检测样本序列长度不足。

三、修正的平均周期图法

由于实际检测中样本序列长度是有限的。对现有数据长度N，如果能获得更多的段数分割，将会得到更小的方差。允许数据段间有重叠部分，来得到更多的段数。对段间重叠长度的选取，最简单是取为段长度M的一半。由平均周期图法可知更多的段数可以进一步降低方差。

数据截断的过程中相当于数据加矩形窗，矩形窗幅度较大的旁瓣会造成"频谱泄漏"。我们分段时采取的窗函数更为多样(三角窗,海明窗等), 以减小截断数据（加矩形窗）窗函数带来的影响[2]。

修正平均周期图法的matlab代码如下：

clear;

%求1024点功率谱以及方差

Fs=1000;

f1=50;

f2=125;

f3=135;

n=0:1/Fs:1;

xn=cos(2*pi*f1*n)+1.5*cos(2*pi*f2*n)+cos(2*pi*f3*n)+1.5*randn(size(n));

M=512;

N=1024;

%数据总点数1024，每段长度M

window=hamming(M);

Pxxtotal=0;

L=N/(M/2)-1;

for i=1:1:(L-1)

    m=abs(fft(window'.*(xn((M/2+M/2*i-M+1):(M/2+M/2*i))),M).^2)/M;

    Pxxtotal=Pxxtotal+m;

end

window=hamming(Fs-(N-M+1)+1);

mend=abs(fft(window'.*(xn((N-M+1):Fs)),M).^2)/M;

Pxxtotal=(Pxxtotal+mend)/L;

Pxx=10*log10((Pxxtotal));

%Fourier振幅谱平方的平均值，并转化为dB

f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);

%给出频率序列

w1=fft(window,N);

w10=abs(fftshift(w1));

plot(f(1:M/2),Pxx(1:M/2));

%绘制功率谱曲线

xlabel('频率/Hz');

ylabel('功率谱/dB');

grid on;

B=var(Pxxtotal)

分别采用矩形窗、Blackman窗和Hamming窗，上述代码可得到的功率谱如图11所示。

图11 不同窗函数的修正平均周期图法得到的功率谱

由上可以发现，矩形窗的分辨率最高，但是方差也最大，这是由于矩形窗频谱主瓣最窄，分辨率因此最高，旁瓣也高，导致频谱泄漏最严重，方差最大。

综而言之，周期图法获得的功率谱随着样本点数越多，分辨率越大、方差越大；平均周期图法以牺牲分辨率来进一步改善方差；修正的平均周期图法允许段的重叠来进一步增大分段数、或者分段数相同，每段样本点数变多。无论是哪种方法都没有彻底结局方差与分辨率之间的矛盾。

四、相关功率谱估计法-BT法

如前所述，要提高功率谱估计的分辨率，必须增加数据序列的长度N，但是较长的数据序列，由噪声引起的随机性得到更为充分的体现-较大的方差。事实上，当N无穷大时，方差为一非零常数，即周期图法无法实现功率谱的一致估计。下面我们来介绍相关功率谱估计法（BT法），它是一致估计。

维纳辛钦定理指出，随机信号的相关函数与它的功率谱是一对傅里叶变换对。BT法就是基于这个原理。先由观测数据估计出自相关函数，然后求自相关函数的傅立叶变换，以此变换作为对功率谱的估计，也称为间接法。BT法要求信号长度N以外的信号为零，这是BT法的局限性。BT法可以表述为：

自相关函数：

功率谱：

取采样点数N分别为128、256、512和1024的BT法代码如下：

Fs=1000;

n=0:1/Fs:1;

x=cos(2*pi*50*n)+1.5*cos(2*pi*125*n)+cos(2*pi*135*n)+1.5*randn(size(n));

nfft=1024;

ncxk=3*nfft/4;

cxn=xcorr(x,'unbiased');

CXk=fft(cxn,ncxk);

Pxx=abs(CXk);

index=0:round(ncxk/2-1);

k=index*Fs/ncxk;

C=Pxx(index+1);

P=(Pxx(index+1));

plot(k,P);

grid on

var(C)

title('BT法功率谱估计 N=1024');

xlabel('频率 Hz');

ylabel('功率');

以上代码可得到的功率谱如图12、图13、图14和图15所示。

图2-10 N=128时，BT法得到的功率谱

图2-11 N=256时，BT法得到的功率谱

图2-12 N=512时，BT法得到的功率谱

图2-13 N=1024时，BT法得到的功率谱

由上面实验可以发现，M随着N的增大而增大时，分辨率提高，方差变大。BT法仍然没有解决分辨率与方差之间的矛盾，但是BT法得到的功率谱当N为无穷大时，方差会趋向于零，即为一致估计[2]。

周期图法与BT法的关系

相关函数可以写成卷积形式：

设序列uN(n)的傅立叶变换为UN(ω)，则当M=N-1时，功率谱的估计可表示为：

上式可以看出周期图法可以看作BT法在取M=N-1时的特例。

结 论

本文通过Matlab仿真，以一个具体的随机信号为例，简单介绍了周期图法、平均周期图法、修正的平均周期图法以及BT法的基本原理，并对这些方法的性能进行分析。可以看出，无论是周期图法及其改进算法还是BT法都没有从根本上解决分辨率与方差的矛盾。

经典功率谱估计是利用傅里叶变换估计功率谱，而我们之前分析随机信号不满足傅里叶变换的条件，所以经典功率谱估计方法不得不从无限长数据点截取有限长数据点，加入限制条件（周期图法实际上假定N点外数据周期重复、BT法假定N点外数据为零）来"强制"作傅里叶变换，这也是造成它局限性的原因。

参考资料

[1] 朱哲,钟宏伟. 非平稳随机信号分析处理方法研究[J] 安徽电子信息技术学院学报 2008.6:28-28

[2] 皇甫堪. 现代数字信号处理[M]. 电子工业出版社

本文根据博客园lulujianjie的博文整理

原文：http://www.cnblogs.com/jacklu/p/5140913.html

关联阅读：

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B功率谱密度(功率信号)和能量谱密度(能量信号)

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DMatlab实例：频谱、功率谱和功率谱密度计算

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