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完美通俗解读小波变换:深入小波背后的一些原理

2016-11-26 声振之家


在上一篇《完美通俗解读小波变换,终于搞懂小波是什么东东了》中讲到,每个小波变换都会有一个mother wavelet,我们称之为母小波,同时还有一个father wavelet,就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数,平移的大小和当前其缩放的程度有关。


上一篇还讲到,小波系统有很多种,不同的母小波,衍生的小波基就完全不同。小波展开的近似形式是这样:


其中的Ψj,k(t)就是小波级数,这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅立叶级数有一点不同的是,小波级数通常是orthonormal basis,也就是说,它们不仅两两正交,还归一化了。 


我们还讲了一般小波变换的三个特点,就是小波级数是二维的,能定位时域和频域,计算很快。但我们并没有深入讲解,比如,如何理解这个二维?它是如何同时定位频域和时域的?


在这一篇文章里,我们就来讨论一下这些特性背后的原理。


首先,我们一直都在讲小波展开的近似形式。那什么是完整形式呢?之前讲到,小波basis的形成,是基于基本的小波函数,也就是母小波来做缩放和平移的。但是,母小波并非唯一的原始基。在构建小波基函数集合的时候,通常还要用到一个函数叫尺度函数,scaling function,人们通常都称其为父小波。它和母小波一样,也是归一化了,而且它还需要满足一个性质,就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交:

另外,为了方便处理,父小波和母小波也需要是正交的。可以说,完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。


其中ψ(t)是母小波,φ(t)是父小波。需要提醒一点的是,这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性,并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。但大部分小波变换的基确实是正交的,所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。


引入这个父小波呢,主要是为了方便做多解析度分析(multiresolution analysis,MRA)。说到这里,你的问题可能会井喷了:好好的为什么出来一个父小波呢?这个scaling function是拿来干嘛的?它背后的物理意义是什么?wavelet function背后的物理意义又是什么?这个多解析度分析又是什么呢?不急,下面,我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识,同时再引出新的特性。


假设我们有这样一个信号:


图1

该信号长度为8,是离散的一维信号。我们要考虑的,就是如何用小波将其展开。为了方便讲解,我们考虑最简单的一种小波,哈尔小波。下面是它的一种母小波:



图2

那如何构建基于这个母小波的基呢?刚才提到了,要缩放,要平移。我们先试试缩放,那就是ψ(2n)


但这样的话,它与自己的内积就不是1了,不符合小波基orthonormal的要求,所以我们要在前面加一个系数根号二,这样我们就得到了另一个哈尔小波的basis function:



图3

同理,我们可以一直这样推广下去做scale,得到4n,8n,…….下的basis function。当然在这个例子里,我们信号长度就是8,所以做到4n就够了。但推广来说,就是这种scaling对母小波的作用(归一化后的表示形式)为:

平移的话也很简单,我们可以对母小波进行平移,也可以对scale之后的basis function进行平移。比如对上一幅图中的basis function进行平移,就成了



图4

看得出来,平移后的basis function和母小波以及仅仅scale过的小波,都是正交的,附合小波basis的特点。如果我们用ψ(n)来表示这个mother wavelet,那么这些orthonormal basis函数可以写成:


这里的k是可以看成时域的参数,因为它控制着小波基时域的转移,而j是频域的参数,因为它决定了小波基的频率特性。看到这里,你应该会感觉很熟悉,因为这里的平移和变换本质和刚才对scaling function的平移变换是一模一样的。 


这样,我们就有了针对此信号space的哈尔小波basis组合:


图5

可以看出,我们用到了三层频率尺度的小波函数,每往下一层,小波的数量都是上面一层的两倍。在图中,每一个小波基函数的表达形式都写在了波形的下面。


等等,你可能已经发现了,有问题。这里为什么多了个没有函数表达式的波形呢?这货明显不是wavelet function阿。没错,它是之前提到的scaling function,也就是父小波。然后你可能就会问,为啥这个凭空插了一个scaling function出来呢?明明目标信号已经可以用纯的小波基组合表示了。


是,确实是,就算不包括scaling function,这些小波函数本身也组成了正交归一基,但如果仅限于此的话,小波变换也就没那么神奇的功效了。引入这个scaling function,才能引入我们提到的多解析度分析的理论,而小波变换的强大,就体现在这个多解析度上。那在这里,我们怎么用这个多解析度呢?这个哈尔小波basis组合是怎么通过多解析度推导出来的呢? 


话说在数学定义中,有一种空间叫Lebesgue空间,对于信号处理非常重要,可以用L^p(R)表示,指的是由p次可积函数所组成的函数空间。我们在小波变换中要研究的信号都是属于L^2(R)空间的,这个空间是R上的所有处处平方可积的可测函数的集合,这样就等于对信号提出了一个限制,就是信号能量必须是有限的,否则它就不可积了。


小波变换的定义都是基于但不限于L^2(R)中的信号的。这玩意的特性要具体解释起来太数学了,牵涉到太多泛函知识,我就不在这里详述了。而且老实说我也没能力完全讲清楚,毕竟不是学这个的,有兴趣可以参考wiki。总之你记住,小波变换研究中所使用的信号基本都是平方可积的信号,但其应用不限于这种信号,就行了。


对L^2(R)空间做MRA是在干嘛呢?就是说,在L^2(R)空间中,我们可以找出一个嵌套的空间序列{Vj}j∈Z,并有下列性质:


我来简单解释一下这些性质。这个Vj都是L^2(R)空间中的子空间,然后他们是由小到大的,交集是{0},因为这是最小的子空间,并集就是L空间。是不是有点难以理解?没关系,看看下面这个图就清楚了:


图6

这个图是圈圈套圈圈,最里面的圈是V0,之后分别是V1V2V3V4 。那他们有趣的性质就是,假如有一个函数f(t)他属于一个某空间,那你将其在时域上平移,它还是属于这个空间。但如果你对它频域的放大或缩小,它就会相应移到下一个或者上一个空间了。 同时我们还知道,你要形容每一个空间的话,都需要有对应的orthonormal basis,这是必然的,那对于V0来讲,它的orthonormal basis就是:


这一系列函数是什么呢?φ(t)是的时域变换,而且我们刚才也说了,时域上平移,是不会跳出这个空间的。这样,我们就可以说,由这一系列basis所定义的L^2(R)子空间V0被这些basis所span,表示成:


k从负无穷到正无穷。上面的bar表示这是一个闭包空间,也就是说


这样,我们就定义了基本的V0这个子空间。刚才说了,这个子空间的基都是对φ(t)的整数时域变换,这里我们称φ(t)为scaling function,所以换个说法,就是说这里整个子空间V0,由scaling function和其时域变换的兄弟们span。


当然,如果这个scaling function只是用来代表一个子空间的,那它的地位也就不会这么重要了。刚才我们提到,这个嵌套空间序列有一个性质:


这就是这个函数,如果你对它频域的放大或缩小,它就会相应移到下一个或者上一个空间了。这个性质就有意思了,它代表什么呢?对于任何一个包含V0的更上一层的空间来讲,他们的基都可以通过对scaling function做频域的scale后再做时域上的整数变换得到!推广开来就是说,当:


我们有


这也就意味着,对于任何属于Vj空间的函数f(t),都可以表示为:


到这里,我们就明白这些个子空间和那个凭空冒出来的scaling function的作用了。scaling的构建这些不同的子空间的基础,当j越大的时候,每一次你对频率变换后的scaling function所做的时域上的整数平移幅度会越小,这样在这个j子空间里面得到的f(t)表示粒度会很细,细节展现很多。反之亦然。通俗点说,就是对scaling function的变换平移给你不同的子空间,而不同的子空间给你不同的分辨率,这样你就可以用不同的分辨率去看目标信号。 


下面就是时候看看什么是MRA equation了,这是更加有趣,也是更加核心的地方。通过刚才的讲解,V0属于V1,那scaling function是在V0中的,自然也在V1中了。我们把他写成V1的基的线性组合,那就是


其中的h(n)是scaling function的系数,也叫做scaling filter或者scaling vector,可以是实数,也可以是虚数。根号2是为了维持norm为1的。看,在这个公式里,我们就把属于V0的函数用V1的基表示出来了。同理,我们可以循环如此,把属于V0φ(t)在V2V3, …,Vn中表示出来。这些方程就是MRA equation,也叫refinement equation,它是scaling function理论的基础,也是小波分析的基础之一。


好,稍微总结一下。到现在,已经讲了关于scaling function的基本理论知识,知道了信号空间可以分为不同精细度的子空间,这些子空间的basis集合就是scaling function或者频率变换之后的scaling function,如下图所示:


图7

上图就是四个子空间的basis集合的展览。通过前面的讨论,我们还知道,一开始的scaling function可以通过更精细的子空间的scaling function(它们都是对应子空间的basis)来构建。比如:



图8

对于更加finer的scale:



图9

依此类推。实际上,对于任何scale和translate过的scaling function,都可以用更加精细的scale层面上的scaling function构建出来。 然后,我们有各种scale下的scaling function了,该看看它们分别所对应的嵌套的空间序列{Vj}jZ了。先看看V0,自然就是以基本的scaling function为基础去span出来的:


这个不新鲜,刚才就讲过了。这个子空间代表什么样的信号?常量信号。道理很简单,这个scaling function在整个信号长度上,没有任何变化。继续往下看:


这个相比V0更加finer的子空间,代表着这样一种信号,它从1-4是常量,从5-8是另一个常量。同理我们有:


V2代表的信号,是分别在1,2;3,4;5,6;7,8上有相同值的信号。那么V3呢?则表示任何信号,因为对于V3来讲,任何一个时间刻度上的值都可以不一样。而且现在,我们也可以通过上面的一些scaling functions的波形验证了之前提到的多解析度分析中的一个核心性质,那就是:


我们之前讲了一堆多解析度的理论,但直到现在,通过这些图形化的分析,我们可能才会真正理解它。那好,既然我们有一个现成的信号,那就来看看,对这个信号作多解析度分析是啥样子的:


图10

你看,在不同的子空间,对于同一个信号就有不同的诠释。诠释最好的当然是V3,完全不损失细节。这就是多解析度的意义。我们可以有嵌套的,由scaling function演变的basis function集合,每一个集合都提供对原始信号的某种近似,解析度越高,近似越精确。 


说到这里,可能你对scaling function以及多解析度分析已经比较理解了。但是,我们还没有涉及到它们在小波变换中的具体应用,也就是还没有回答刚才那个问题:凭空插了一个scaling function到小波basis组合中干嘛。也就是说,我们希望理解scaling function是怎么和小波函数结合的呢,多解析度能给小波变换带来什么样的好处呢。这其实就是是小波变换中的核心知识。理解了这个,后面的小波变换就是纯数学计算了。 


好,我们已经知道,对于子空间V0,basis是scaling function:


图11

对应的小波函数是:


图12

然后子空间V1的basis集合是这俩哥们:


图13

看出什么规律了么?多看几次这三个图,你会惊讶地发现,在V0中的scaling function和wavelet function的组合,其实就是V1中的basis!继续这样推导,V1本来的的basis是:


图14

然后V1中对应的wavelet function是


图15

他们的组合,本质上也就是V2的basis(参考图9)。你继续推导下去,会得到同样的结论:在scale j的wavelet function,可以被用来将Vj的basis扩展到V(j+1)中去!这是一个非常非常关键的性质,因为这代表着,对任何一个子空间Vj,我们现在有两种方法去得到它的orthonormal basis:


  • 一种就是它本来的basis ψj,k ,对任意k


  • 第二种就是它上一个子空间的basis ψj-1,k,对任意k,以及上一级子空间的wavelet function ψj-1,k ,对任意k。


第二种选择能给我们带来额外的好处,那就是我们可以循环不断地用上一级子空间的scaling function以及wavelet function的组合来作为当前子空间的基。换句话说,如果针对V3这个子空间,它实际上就有四种不同的,但是等价的orthonormal basis:


1.本级(V3)的scaling function basis set


图16

2. 上一级(V2)的scaling function + wavelet function


图17

3 . 上上一级(V1)的scaling function + 上上一级(V1)的wavelet function + 上一级(V2)的wavelet function


图18

4. 上上上一级(V0)的scaling function + 上上上一级(V0)的wavelet function + 上上一级(V1)的wavelet function + 上一级(V2)的wavelet function


图19

好,看看最后一种选取方式,有没有感到眼熟?对了,它就是我们之前提到的“针对此信号space的哈尔小波basis组合”,参见图5。现在我们知道了,这个scaling function不是凭空插进去的,而是通过不断的嵌套迭代出来的:) 


那为什么我们最后选定的是这种选取方式呢?实际上,刚才介绍的这个性质已经告诉我们,对于任何的scale j0,我们都可以给我们的signal space找到一组orthonormal basis,这个basis是通过组合scale j0上的scaling function以及所有在scale jjj0上的wavelets得到的。这样,基于这个orthonormal basis,所有信号空间中的信号都可以写成组成这个basis的functions的线性组合:


对应的系数的计算和平常一样:


这,就是最终的,也是最核心的,小波变换形式。不管是信号压缩,滤波,还是别的方式处理,只要是用小波变换,都逃不出这个基础流程:


  1. 选取合适的wavelet function和scaling function,从已有的信号中,反算出系数cd


  2. 对系数做对应处理 


  3. 从处理后的系数中重新构建信号。


这里的系数处理是区别你的应用的重点。比如图像或者视频压缩,就希望选取能将能量聚集到很小一部分系数中的小波,然后抛弃那些能量很小的小波系数,只保留少数的这些大头系数,再反变换回去。这样的话,图像信号的能量并没有怎么丢失,图像体积却大大减小了。 


还有一个没有解释的问题是,为什么要强调尺度函数和小波函数组成一个orthonormal basis呢?计算方便是一方面,还有一个原因是,如果他们满足这个性质,就满足瑞利能量定理,也就是说,信号的能量,可以完全用每个频域里面的展开部分的能量,也就是他们的展开系数表示:


到这里,我们对小波变换的形式就讲完了。虽然是用的最简单的哈尔小波为例子,但举一反三即可。我们着重介绍了多解析度分析以及它给小波变换带来的杀手锏:时域频域同时定位。结束之前,再多说几句小波变换的意义。我们拿刚才例子中V3子空间的第二种可选择的orthonormal basis作为例子:


图20

左边这四个basis组成元素,也就是scaling functions,的系数,表征的是信号的local平均(想想它们和信号的内积形式),而右边的这四个basis组成元素,也就是wavelet functions,的系数则表征了在local平均中丢失的信号细节。得益于此,多解析度分析能够对信号在越来越宽的区域上取平均,等同于做低通滤波,而且,它还能保留因为平均而损失的信号细节,等同于做高通滤波!


这样,我们终于可以解释了wavelet function和scaling function背后的物理意义了:wavelet function等同于对信号做高通滤波保留变化细节,而scaling function等同于对信号做低通滤波保留平滑的shape! 


对小波变换的基础知识,我们就讲到这里。需要注意的是,这只是小波变换最基本最基本的知识,但也是最核心的知识。掌握了这些,代表你对小波变换的物理意义有了一定的了解。但对于小波变换本身的讲解,一本书都不一定能将讲透,还有很多的基础知识我都没有讲,比如如何构建自己的scaling function,选取合适的系数集h[k],并由此构建自己的wavelet functions。所以,如果有深入下去研究的同学,好好买一本书来看吧。而只是希望用小波变换来服务自己的应用的同学,个人觉得这些知识已经足够让你用来起步了。

本文是《小波变换和motion信号处理》系列文章中的第二篇,来自网络,转载众多,其作者可能为windstorm,出自www.kunli.info。

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