经验模态分析方法(EMD)：背景及存在的问题
编者按：本文系声振论坛会员zhangnan3509于2007年出任论坛版主时和大家分享的文章。历经近十年时间，文中个别情况可能已经发生了变化，但仍不失为系统介绍EMD的好文章。
各位大牛，以及各位同仁今天我要兑现自己申请版主时的诺言，要把这一段时期在本版面上的关于HHT的一些帖子，还有我认为有争议的问题梳理一下，供大家参考。当然这里面一定有很多不当之处，还希望大家能够批评指正，能使这一阶段的讨论发挥它应有的作用。
先介绍一下HHT研究的背景、意义和现在存在的问题，因为只有先通过EMD求出经验模态函数(IMF)，才能作Hlibert变换，所以我就在这里合起来用HHT代替了。
1807年，J.B.J傅立叶在热理论的研究中，提出了傅立叶信号分析理论，发明了傅立叶变换方法，搭建了从时域分析到频域分析的桥梁，使在时间域内难以观测到的信号特征，可以在频域内十分清楚地显示出来。进一步的研究表明，许多事物的本质区别就在于频率不同，如可见光和紫外线，因此，信号的频率表示更能够深入的揭示和表征事物的本质。也正因为这样，人们把傅立叶变换看成是信号分析发展史上具有里程碑意义的一件大事。
傅立叶分析理论虽然在信号分析理论的发展的过程中起了重要作用，但随着研究的深入，发现傅立叶变换是一种整体积分变换，存在一对基本矛盾：时域和频域的局部化的矛盾，即若想在时域上得到信号足够精确的信息，就得不到信号在频域上的信息，反之亦然。
此外，傅立叶变换是典型的线性变换并且是一种稳态变换，因此，傅立叶分析适合分析频率不随时间变化的线性、平稳信号，以及对信号做全局分析；不适合频率随时间变化的非线性、非平稳信号，以及对信号作局部分析，不巧的是，在机械故障领域，我们所采集的信号几乎都是非稳态、非线性的时变频率信号。
解决这个矛盾，不同的学者进行不同的探索，一部分学者把时间和频率进行联合分析，通过研究时间和频率的联合分布，即通过时频分析可以达到研究时变频率的目的，而且研究的难度会大为的降低。按照这一思路，人们取得了大批的研究成果，提出了像短时傅立叶变换、Winger-Ville分布和小波分布等卓有成效的信号分析方法，使信号分析理论前进了一大步。
但这不表明上述矛盾完全解决，因为几乎所有的时频分析方法都以傅立叶变换为最终理论依据，采用积分的分析方法，以至于时频分析方法的基函数是比较固定的，缺乏自适应性，在表示信号时都容易出现多余信号，而且受Heisenberg不确定原理的限制，这些时频分析方法不能精确描述频率随时间的变化。虽然有时也可以通过时频分析估计瞬时频率，但因为这些时频分布已经遭受了局限，所以其依据含糊，难以有真正的说服力。
几乎是同时，一部分学者着手于瞬时频率及相关理论的研究，这个方向的研究就显得一波三折，因为他们发现给瞬时频率一个满意的定义是一件很难的事情。直到1998年，美国华裔科学家黄锷等人才提出了一种真正基于瞬时频率的信号处理方法——经验模态分析方法(EMD)，并在此基础上提出了希尔伯特-黄变换，从直观上解决了上述问题。
希尔伯特-黄变换公开提出的时间还很短，因此研究工作还不多。目前为止，国外主要有黄等人、Zhu、W. Huang、K. Huang、Tabor等作的工作，国内主要有大连理工的余泊、张海勇、盖强和重庆大学的谭善文、钟佑明等人。
黄等人主要建立了希尔伯特-黄变换的基本框架：分析了HHT的基本依据，引入了固有模态(IMF)的概念、提出了经验模态分解(EMD)和连续均值筛法(SMS)、定义了Hilbert谱和边际谱概念、讨论了HHT的完备性和正交性问题；比较了HHT和小波变换及其他信号分析方法的区别；采用边界处理的特征波法；研究了HHT在非线性系统分析、水波分析、风速分析等中的应用，针对EMD过程中出现的模态混叠问题，给出了基于周期尺度的解决措施，Zhu、W. Huang、K. Huang、Tabor分别研究了HHT在重力波、生物医学、桥梁健康监测、环境中的应用。
余泊提出了自适应时变滤波分解(ATVFD)经验筛法，研究了HHT在故障诊断中的应用。盖强受积分中值定理启发探索了极值域均值模式分解EMMD经验筛法，提出了波形匹配预测法的边界处理算法。张海勇将HHT与Wigner-Ville分布、方差平稳随机信号分析和时变参数模型信号分析结合起来提出了一些交叉信号分析方法。谭善文提出了多分辨希尔伯特-黄(Hilbert-Huang)变换。
HHT是一种很直观合理 能满足人们许多愿望的信号分析。 但任何新理论的形成都会经历一个从提出到完善的逐渐、甚至漫长艰苦的过程，HHT也不会另外。HHT 的提出者在展示其方法优越性的同时，也指出了其中存在的包络线拟合等问题。后来虽有一些学者对这些问题进行了探索，做出了一些工作，但总的说来进步不大。就目前来说，HHT 尚需和急需解决的主要问题有：
1. 基本理论的进一步建立
纵观HHT的提出和现有文献，其理论基础都还有待进一步完善，IMF还只有描述性定义，从有限例子和经验中得到的关于IMF对称性的要求还难以让人完全满意；虽然众多例子表明EMD的结果是直观合理的，但理论框架尚需成熟，等等。
关于理论的研究做的人并不多，但是这要真是能在理论上突破，我相信那就是对HHT翻天覆地的变化，我们拭目以待。
2. 包络线和均值曲线的拟合
这是HHT的关键问题，它在很大程度上将影响到新理论的成熟和推广应用。但现有文献几乎都采用三次样条插值，而未提出新的和更合理的方法。这不仅缺乏理论依据，而且三次样条插值容易造成过冲和欠冲只有二阶光滑性，如果采用直接拟合均值曲线的方法，可以降低过冲和欠冲现象但有时结果仍然很严重。
一位师兄使用约束三次样条插值，而论坛里面eight先生采用B-样条插值算法并已经写出了程序和文章，大家可以自己搜索找到相关资料。
3. 筛法
筛法是HHT的核心，它包括两方面的问题：一是筛法依据问题，即筛法有没有可靠的理论依据。如果筛法没有可靠的理论依据将会导致分析结果不唯一或者错误的结果，二是筛法的效率问题，就是要提高筛法的速度由于Huang等人在提出EMD时采用的是包络线拟合经验筛法，每次筛选需要拟合两条曲线，因而速度慢。
提高运算速度的一种自然设想是直接拟合均值曲线，而不通过拟合两条包络线，这样运算量几乎可以减少一倍。但总结现有的经验筛法，无论是Huang等人提出的连续均值筛法(SMS)，还是余泊提出的自适应时变滤波分解(ATVFD)和盖强提出的极值域均值模式分解(EMMD)，都没有从理论上说明直接拟合信号均值曲线的理论依据。
Huang本人提出了确定一个筛分过程停止的准则。该条件准则可以通过限制标准差的大小来实现，标准差SD通过两个连续的处理结果来计算得出：
SD称为筛分门限值，一般取0.2～0.3。如果SD小于这个门限值，筛分过程就停止，从而认为h1k为第一阶IMF。但是因为Huang自己的成果申请了专利，我们很难看到原汁原味的程序。
而法国学者GabrielRilling等提出中止条件，是我们大多数人手中的EMD的程序所采用的判定是否中止筛选过程的判据。定义函数：
式中：emax、emin分别为上下包络线。设定三个门限值θ1、θ2、α，规定当α(t）里面小于θ1的比率达到α，且不存在大于θ2的值时，中止筛选过程。默认值为θ1=0.05，θ2=0.5，α=0.95。
4. 边界处理问题
对有限长信号的分析一般都会遭遇边界处理问题，如小波分解等。但小波分解中的边界处理误差如果采用直接时间算法不会在各小波分量间传递，而HHT的分解过程注定了其边界处理结果将在分解过程中一直传播下去，引起结果的较大摆动，这就决定了研究HHT边界处理算法的重要性。目前所见关于HHT边界处理的算法明显有改进的余地和必要。
在rilling的程序里边界问题采用镜像法处理，EMD的程序里有关于这个问题的全部程序，大家可以仔细研读同时可以看相关文献《希尔伯特-黄变换的端点延拓》
5. 模态混叠
过采样以及频率分辨率等其他若干问题。试验表明，在经验筛法过程中，时常会遇到模态混叠问题。虽然Huang等人和谭善文先后独立提出了解决措施，但都还没有对形成这种现象的原因作更进一步地分析Huang等人在文献中虽然指出，HHT需用过采样以提高瞬时频率的精度，但也没有对其原因加以理论说明。文献中对HHT的频率分辨率分析也不太恰当。
这是我开题时预计要做得重点内容，但是现在并没有怎么着手去做，而且在前一版的rilling程序里面有一个mask函数，大家应该能注意到，相关论文《The use of a masking signal to improve empirical moded ecomposition》介绍此函数是用来处理模态混叠的，但效果怎么样，我还没有验证。
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