振动理论基础知识：振动系统固有特性的matlab计算
振动系统固有特性一般指的是振动系统在自由振动条件下的特性，它包含固有频率和振型，振动系统的固有特性和激励。对应到数学上，就是振动系统齐次微分方程的特征，即特征解（包含特征值和特征向量），特征值对应固有频率，特征向量对应振型。
离散振动系统齐次微分方程通常可以表示为：
式中：M为质量矩阵，C为阻尼矩阵，K为刚度矩阵。求解上述齐次微分方程的特征解即可获得系统的固有特性。以下为matlab求解特征值的方法：
无阻尼系统
在不考虑阻尼的条件下，振动系统固有特性求解较为简单，直接采用eig函数即可实现，具体如下：
[vec,val]=eig(inv(M)*K);
计算出特征向量阵vec和特征值val，再排序即可得到振型矩阵和频率。
阻尼系统
对于考虑阻尼的振动系统，声振论坛会员gxc8208分享了一个函数，供大家参考：
function [v,w,zeta]=vbr_sf(m,d,k)
% vbr_sf vbr_sf(m,d,k)
% [v,w,zeta]=vbr4(m,d,k)
% function vbr_sf finds the mode
% shapes and natural frequencies
% of a linear second order matrix
% equation.
% [v,w]=vbr_sf(m,k) finds the mode
% shapes and natural frequencies
% for the undamped case.
if nargin==2
k=d;
[v,w]=eig(m\k);
w=sqrt(w);
end
if nargin==3
if norm(d/m*k-k/m*d) < 1e-8*norm(k/m*d)
% disp('Damping is proportional, eigenvectors are real.')
[v,w]=eig(m\k);
w=sqrt(w);
zeta=(v'*m*v)\(v'*d*v)/2/w;
else
% disp('Damping is non-proportional, eigenvectors are complex.')
a=[0*k eye(length(k));-m\k -m\d];
[v,w1]=eig(a);
w=abs(w1);
zeta=-real(w1)/w;
end
end
w=diag(w);
zeta=diag(zeta);
如果阻尼矩阵是非对称的，则需要对其进行的变形处理之后才能计算。
本文根据声振论坛的相关讨论整理而成。