力学教学笔记之碰撞问题：谈大学普通物理中的力学
昔者，共工氏与颛顼争为帝，怒而触不周之山，天柱折，地维绝。
——《列子·汤问篇》
谈谈碰撞问题吧。利用碰撞问题来讲讲大学普通物理中《力学》的基本内容。
首先，要有一个物体。当只有这一个物体的时候，它会保持静止或匀速直线运动，因为没有其他东西给它施加作用力嘛。这就是牛顿第一定律。
其次，碰撞最少还要一个物体。两个物体才会发生碰撞，它们会彼此施加力的作用。对于任何一个物体来说，力的作用会改变它的运动状态，运动的变化与所加的力成正比，并且发生在力的方向上。这就是牛顿第二定律。所以，碰撞后两个物体的运动状态都会发生变化。
然后，两个物体之间的相互作用力大小相等，方向相反。这就是牛顿第三定律。所以，两个物体作为一个整体来说，其运动状态在碰撞后不会发生变化。这就引入了质心的概念。同时，两个物体相对于彼此的运动比照质心参考系来说更快了，这就引入了约化质量的概念。
碰撞的过程中动量守恒。最便于描述碰撞过程的参考系是质心参考系，因为该参考系中的两个物体的总动量为零。碰撞前，每个物体的动量大小相等，方向相反;碰撞后，每个物体的动量仍然是大小相等，方向相反。但是碰撞前后的大小和方向都可以发生变化。知道了质心坐标系的碰撞结果，很容易转变到任何其他的惯性参考系中，比如说，实验室参考系。
在碰撞的过程中，动能没有必要是守恒的。两个物体可以粘在一起，这样它们就不动了，动能为零；两个物体的碰撞也可能引发爆炸，化学能或者核能可以转化为动能。所以，碰撞过程可以分为弹性碰撞和非弹性碰撞。弹性碰撞过程中，动能是守恒的；非弹性碰撞中，碰撞前后的动能不一样，通常说动能变小，甚至还引入了小于1的恢复系数来描述它，其实动能也是可以增大的。
这就是经典力学中的碰撞问题了。这样的碰撞涉及的物体大小和速度都与我们的日常经验相差不大。至少有两种不适用的情况。一种是碰撞体太小了，这就会涉及到量子力学;另一种是运动速度太快了，这就涉及到相对论。
多小算小呢？大约原子的尺度吧。此时的主要修正在于，碰撞的粒子不再是可以区分的，全同粒子的特性改变了碰撞过程的细节。质心系仍然是最合适的参考系，动量守恒也仍然满足，但是全同粒子的统计特性的差别(费米子还是玻色子)会导致散射方向分布的不同。
多快算快呢？大约光速吧。光速设定了物体运动速度的上限，运动速度接近光速的时候，物体的质量会发生改变，不同于静止情况下的质量。但是，相对论对碰撞过程的影响，仍然是对细节的修正。
高能粒子对撞机同时涉及了量子力学和相对论的修正，但是它仍然是个碰撞问题。特别的地方在于，碰撞的后果比较严重，碰撞前的是两个状态稳定的家伙，碰撞后可能就是乱七八糟的一堆疯子了。但是，他们也满足动量守恒，其能量和动量分布能够反映出碰撞的细节。高能物理学研究的就是这东西。
两体碰撞问题也可以很容易地推广到多体碰撞，乃至一个物体与流体的运动问题。
比如说，所谓的比萨斜塔实验。从多高的塔上扔铁球，才需要考虑空气阻力呢？铁球密度为ρ1，半径为r，空气密度为ρ2，下落高度为h，铁球质量与其排开空气的质量相近时，空气显然不能忽略。则，ρ1r³∼ρ2r²h，即， h∼(ρ1/ρ2)r。也就是说，这个高度是铁球半径的几千倍。几厘米的铁球，塔高大约几十米。显然，如果把球的尺寸缩小几万倍，到达微米的尺度，这就是雾霾悬浮在空气中的原因了。
当然，上面的估计只是个很粗糙的上限，根本没有考虑物体运动速度的影响。考虑进来也不难，换个例子，谈谈风阻吧。Blowing in the wind，看起来很酷，其实阻力蛮大的。
物体的运动速度为v，截面积为S，空气密度为ρ，单位时间内排开的空气质量就是ρSv这些质量也获得了v，所以阻力就是ρSv²。当然，这只是估计值，显然还差了系数，所谓的风阻系数，主要是由物体外形决定的，我们通常说的流线型外壳，讲的就是这个。不管节能要求高的电动车、底盘要求特别稳的赛车，还是速度非常快的高铁、飞机和火箭，都很讲究这个，而且这玩意也不完全是靠算出来的，主要还是靠风洞来吹。显然，这种估计也可以用来讨论降落伞。
有碰撞就是分离。火箭发射也可以看作是一种碰撞过程，只不过我们通常认为它是分离。当然可以用微分方程来描述火箭发射，但是理解其中的物理，根本就用不着这么复杂。我们都知道，“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”把它当成火箭好了，切掉一半往后一扔，前面的一半就往前走，速度为v；把往前走的这一半再切掉一半，往后一扔，前面的速度就变为2v；如此下去，切n次，前进的速度就是nv，剩余的火箭质量就是1/2ⁿ。 显然，这就是火箭运动微分方程里得到的vln(m0/mf)，只是差了个ln2而已。
火箭靠自我牺牲才能前进，其实也有凭借外力的方法，而且也是个碰撞问题。“好风凭借力，送我上青云”，风口上的猪，不就是这样的吗?甚至连风都不用，太阳光就可以。太阳光把风筝晒脱一层皮，风筝也会往前跑，这是克鲁克斯管；太阳光被反射，风筝也会往前跑，这就是太阳帆，来自于光子的动量；在非常特殊的情况下，晒太阳甚至可以让你舒服得团团转，这就是雅科夫斯基效应;如果你会忽悠，还可以考虑用激光，玩个飞跃人马座的大游戏。
好了，上面这些例子都是瞎比划，而且是非常随意地挑选出来的，他们甚至都没有什么精确解。最后，再举几个真正了不得的碰撞例子，算是向数学致敬吧。
宇宙级别的，传说中的黑洞吸积盘和今年大热的双黑洞旋转；星体级别的，引力弹弓，月球上的陨石坑，以及恐龙灭绝的原因；宏观大小的，弹道导弹和反导系统；分子级别的，布朗运动，各种化学反应；原子级别的，康普顿散射，激光冷却；原子核级别的，卢瑟福散射；基本粒子内部的，夸克的渐进自由。
甚至还有把微观粒子和宇宙环境联系起来的碰撞，比如说，著名的“我曹”粒子(Oh-My-God particle)，单个氢原子核的能量达到了10²¹eV，之所以让大家迷惑不已，大呼“卧槽”，就是因为一个简单的碰撞问题，限制了这种能量的粒子的出发点到地球的距离：超高能量的粒子会和宇宙微波背景辐射中的微波光子发生碰撞，从而产生次生粒子。简单的估算，可以知道，这么高能的粒子，与地球的距离不会超过100万光年，可是，在一百万年这么小的尺度里，有什么机制能够产生这么高能的粒子呢?如果你也想不出来，那么就只好说声“握草”了。
其实，碰撞很常见，碰撞也很简单。
更重要的是，碰撞的发生其实很偶然，就像你偶然读到了这篇文章，就像张爱玲偶然发出的感慨：
于千万人之中，遇见你要遇见的人。于千万年之中，时间无涯的荒野里，没有早一步，也没有迟一步，遇上了也只能轻轻地说一句：“你也在这里吗?”
以上原文链接：http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1010966.html。
附：力学教学笔记之缘起
伯乐教其所憎者相千里之马，教其所爱者相驭马。千里之马时一有，其利缓；驭马日售，其利急。此《周书》所谓“下言而上用者，惑也。”
——《韩非子·说林下》
2016年4月底，邢志忠老师来信，问我是否能够给国科大带门力学课，授课对象是一年级本科生。邢老师认为我能上课，大约是因为看到我经常在博客上瞎扯。其实我几乎没有给本科生上课的经验：我在研究生院上过七八年的课，但是听课的都是研究生；我给北科大的学生上过三五堂课，但那仅仅是类似前沿讲座的专业课程，听课的也是三年级本科生。我对国科大的本科教育一直有些好奇，也参加过两次本科生的面试招生工作，所以我确实有兴趣参与一些教学工作，困难在于我不知道自己能不能做好。
我考虑了几天，中间从邢老师那里了解了更多关于授课内容及要求方面的信息。邢老师把北大刘树新老师的授课笔记给了我作参考，更是允许我完全根据自己的意愿来上课，想怎么教就怎么教。最后我决定还是试试吧。
虽然说，我可以想怎么教就怎么教，可是我也知道，我绝对没有钱学森当年在中科大力学系上课那样的自由。钱学森想怎么上课就怎么上课，想怎么考试就怎么考试：考试一整天、晕倒了三五个、不及格一多半?没问题。全体延期半年毕业、补习高等数学、做题三千道?也没问题。因为钱学森就是他们毕业后的领导，学生毕业后就是给他干活的。那个时代已经过去了，现在的形势完全不同了。大学物理只是一门课而已，我只是一名普通的上课老师而已，我可以想怎么教就怎么教，可是学生们也可以想怎么学就怎么学呀!上完了这门课，我也不能帮他们找工作，凭什么呀!点名、绩点什么的，真的有人在乎吗?而且我真的需要借助于这些手段吗?我知道自己为什么来教，他们知道自己为什么来学吗?
我觉得，学习大学物理是为了学会抓住主次矛盾，建立适当的模型，从而培养分析和解决问题的能力；学习高等数学是为了培养周密的逻辑思维能力(例如，极限的ϵ−δ定义)和掌握方便的解题工具(例如，微积分和线性代数)；而语文能够让大家进行有效的交流。既然是教物理课，那么数学和语文不过就是工具而已。我是希望能够帮助学生建立物理图像，而不是让他们刷题或者纠结于数学技巧。对于大学物理来说，所有的函数都是连续的、无限可微的，所有的微分方程都是可解的，不用考虑解的存在性和唯一性，等等。毕竟，那些都是细节而已。
正如费曼所说的那样，“物理学家需要有从多种观点看问题的能力。物理直觉完全是非数学化的、不精确的和不准确的事情，但它对物理学家来说绝对有用。”朗道也是这么认为的，“确定对研究现象的近似程度在理论研究中是非常重要的。最严重的错误是，采用非常精确的理论并详细计算所有的细节修正，同时却忽略了非常重要的物理量。”朗道和费曼都是了不起的物理大师，他们都拥有无比娴熟的数学技巧，但是他们更看中物理图像和物理直觉。
我用的教材是北大舒幼生老师的《力学》，因为我有刘树新老师的授课教案作参考，还因为这本书上的每道题都有详细的解答，不仅是例题，课后的练习题也是(《力学习题与解答》)，更重要的是，我认为学习的时候用哪本教材其实都是无所谓的。我甚至觉得，大学普通物理的教学都用不到微积分——我已经上了一个月的课，我在课堂上基本上不用微积分的，碰到微分方程或者定积分什么的，我只是试着说服学生们，这些东西确实很容易估计个结果出来，如果他们真的想解题的话，也很容易在随便哪本高等数学的教材里找到答案的。从某种意义上来说，我似乎在尝试用赵凯华《定性和半定量物理学》中的方法。
但是效果怎么样呢?现在还很难说。但是，至少我已经成功地使得几名学生转班走了，现在这门课只有不到50人，勉强算是小班教学了吧。考虑到我这个班里，没有学数学的，只有几个学物理的，大多都是化学、电子、计算机、乃至生物和医学方面的学生，我觉得自己还是可以再坚持一下的。顺便说一下，今年的一年级本科生都要学力学，但是他们有6个选择，其中3个是4学分的A课，另外3个是3学分的B课(我就是B课)，每个老师都有如何上课的自由，而每个学生也都有选课的自由。所以，有用朗道力学来上课的老师，也有像我这样的尝试。其实不仅物理课是这样，数学课也是的。在等班车的时候，我听到有个老师说他要用两个月来讲实数，而另一位老师则打算在一个月里先讲讲物理要用到的微积分。
下面说说给本科生上课的感觉。学生们的出勤率是高的，做作业也是认真的(第一次作业的时候，有同学碰到不会做的，甚至也不去翻阅《力学习题与解答》)。但是教学交流呢，怎么说呢?其实也没有太多的交流，原因不太清楚。虽然我觉得自己蛮主动的，希望能够得到一些反馈，可是也许我这个形象不那么让人容易相信，也许学生们还不太有什么问题——虽然他们也说，上课好像能听懂，但是下去做题还是有困难。我说你什么不懂啊，上课提出来好了；他说我什么也不懂，不知道提什么。当然，比给研究生上课好多了：给研究生上课的时候，一学期下来也没有一两个人提问题;给本科生上课，差不多每节课都会有个把人提问题。而且还有个同学给我写过一个很长的邮件，可惜，然后就没有然后了。
在上课过程中，我对朱邦芬老师《“减负”误区及我国科学教育面临的挑战》指出的问题有了更深刻的了解，对于当年清华理科基地班面临的挑战也有了更多的认识，即将到来的期中考试可能会让我知道，当年北大俞允强老师反映的问题现在到底有什么新进展。当然，就是用脚趾头也可以猜到，应该没有太大的改善，毕竟，教学矛盾是个世界性的问题。
天行有常，不为尧存，不为桀亡。应之以治则吉，应之以乱则凶。
以上原文链接：http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1010832.html
本文转自科学网jiyang1971的个人博客，作者：姬扬，中国科学院半导体研究所，研究员。封面图片来自百度经验。
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