振动信号处理基础知识：功率谱和频谱有什么区别？

2017-10-02 声振之家

来源：百度文库《随机振动的功率谱分析》由LWahching分享

功率谱的基本概念

在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后，将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度(power spectral density, PSD)或者谱功率分布(spectral power distribution, SPD)。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数(W/Hz)表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数(W/nm)来表示。

功率谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。功率谱密度函数是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值与频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值与频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均(time average)概念。功率谱指的是信号在每个频率分量上的功率，频谱其实是一个幅度谱，只是信号在各个分量上的幅度值。因为通信中一般对于信号的分析都是把信号看作电压值，所以功率就是电压的平方再除以电阻值。为了分析简单归一化，令R=1，这时候功率谱就是频谱模的平方了。模也就是实部分量和虚部分量平方和的开方，故功率谱保留了频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号，其功率谱是可能相同的。

功率谱和频谱有两个重要区别

其一，功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。

其二，功率概念和幅度概念的差别，我们只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在及其Fourier变换是否收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的，该样本的Fourier变换是否收敛。

举例：

若一个确定信号f(t)，-∞＜t＜∞，满足狄氏条件，且绝对可积，即满足：

则f(t)的傅里叶变换存在，为：

S(ω)与s(t)满足Parseval定理：

一个随机过程的样本函数，尽管它的总能量是无限的，但其平均功率却是有限值，即：

若f(t)是功率有限信号，从f(t)中截取t≤T/2的一段，得到一个截断函数fT(t)，如下图所示。

该截断函数可以表示为：

如果T是有限值，则fT(t)的能量也是有限的。令fT(t)的傅里叶变换为FT(ω)，则利用Parseval定理fT(t)的能量ET可表示为：

因为，

所以f(t)的平均功率为：

当T→∞时，fT(t)→f(t)，此时FT(ω) ²/T可能趋近于一极限。假若此极限存在，定义它是f(t)的功率谱密度函数，简称功率谱，记作s(ω)。这样便得到f(t)的功率谱为：

由此可得：

由上式可见，功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况，也就是说，它反映了信号功率在频域的分布状况。显然，功率谱曲线S(ω)所覆盖的面积在数值上等于信号的平均功率。S(ω)是频率ω的实偶函数，它保留了频谱FT(ω)的幅度信息而丢掉了相位信息。因此，凡是具有同样幅度谱而相位谱不同的信号都有相同的功率谱。