理想流体中的声波：声波方程及其行波解
来源：网易聲之韻博客
作者：王新龍，南京大學聲學研究所
声波是流体媒质的机械扰动，必须遵守流体力学规律。另外流体的机械扰动引起压缩膨胀，必然导致流体局域状态的变化，所以声波扰动也服从热力学定律。声学量是流体状态及运动的扰动量。代之以声学量，流体运动及状态方程遂转化为支配声扰动的声学基本方程。
一般而言，声扰动的方程是非线性的。惟日常所闻之声多属微扰，故可对声扰动的方程作微扰(线性化)处理，从而导出奠定线性声学基础的声波方程。文章最后讨论了线性声波方程的平面波解以及行波声学量的若干重要关系。
理想流体属无能量损耗的流体，即热导与黏性所致的能量损耗可忽略不计。声波之压缩膨胀，必致流体局部温度之升降，遂形成空间温度场，而相邻空间区域之温差必致热导。惟声波的压缩膨胀交变过程如此快速，以致邻近区域因温差所致的热导几可忽略。所以，理想流体中声波的压缩膨胀过程可视为绝热，流体质点的熵是时间常数。黏性源自流体的内摩擦，导致宏观有序的声波机械运动转化为微观无序的分子热运动。但对多数常见流体，非极高频率之声波，其粘性一般较弱，在有限的时空范围内也可忽略。
《流体力学引论》一文详述了理想流体运动所遵循的基本方程，本文仅概述其结果如下。设理想流体的密度ρ(x,t)，压力P(x,t)，单位体积有质量源流ρq(x,t)产生，且单位体积受外力f(x,t)的作用，其中q(x,t)是流体的体积产生率，x在欧拉描述下是流体三维空间矢量，而在拉格朗日描述下则是流体质点的三维位置矢量。
所谓质点，可视为一个流体微团。它体积足够小，使得相关的物理量在其上几乎不变，故可被视之为空间的点。它又足够大，足以包含大量的流体分子，从而具有统计物理意义下的状态物理量如密度ρ、压力P、温度T等。首先，从质量守恒定律可导出质量的连续性方程：
简称连续性方程，其中微分算符：
这是欧拉描述体系下的方程形式。连续性方程也可以写成拉格朗日描述下的等价形式：
其中利用了全导数与偏导数的关系：
从连续性方程在拉格朗日描述下的等价形式可知，在无源的情形(q=0)下，质点质量密度的时间变化与速度散度相关。《流体的弹性》一文定义了容变Δ的时变率——容变率dΔ/dt，它等于速度散度：
据此，连续性方程在拉格朗日描述下的等价形式也可表达成：
其次，根据牛顿定律，可以导出支配流体运动的微分方程——欧拉方程：
利用全导数与偏导数的关系，欧拉方程在欧拉描述体系下可以表为：
欧拉方程其实体现了流体运动的动量守恒。
除此之外，尚须加上描述流体状态关系的热力学方程。对于理想流体的绝热过程，状态方程可表为单元函数；例如，若以密度ρ为状态自变量，则压强可表为密度的单元函数：
在声学中，定义状态的导出参量c：
根据热力学关系，c和绝热体弹性系数κ(或压缩系数β)之间存在如下重要关系：
必须强调，状态方程反映了质点的状态关系。对状态方程求时间全导，得到质点在运动过程中的状态变化：
代入连续性方程在拉格朗日描述下的等价形式遂有：
其中，利用c和κ的关系。上述方程和欧拉方程构成了流体质点运动的一对基本方程组。
声波是媒质在其平衡态附近扰动形式的传递，因此诸如压强P、密度ρ诸媒质状态量可表达为
其中P0和ρ0是无扰动时的静压和静密度，p(x,t)和ρ'(x,t)是压强的扰动量和密度的扰动量。压强扰动量即声压。在声学问题中，媒质质点仅在其平衡态位置附近来回振动，故流速(即质点的振速)v(量值为v)也是扰动量。凡偏离平衡位置的扰动量统称声学量。在本文的讨论中，假定媒质是均匀时不变的，P0和ρ0皆为常数。把上式代入流体质点运动基本方程组，得到一对声学量v和p的耦合方程：
根据时间全导数与偏导数的关系，其等价形式为：
此外，根据绝热状态方程，ρ、β、κ和c皆可视为声压p的单元函数；例如，
一般为非线性函数。其实，上述声学量耦合方程组也是非线性的，故而声波具有固有的非线性。
线性声学假设所有的声学量皆为一阶小量。设ε为正小参量：0<ε<<1。所谓一阶小量，意谓：
式中，T0是静态的温度，τ是温度扰动量。线性声学仅仅保留O(ε)量级的小量。声学量耦合方程的对流导数项是O(ε^2)的高阶小量，可略而不计。其实，就是时间全导数直接用时间偏导数近似：
可见，在线性近似下，拉格朗日与欧拉描述近似等价。在上述假设下，密度ρ、压缩系数β、体弹性系数κ和声速c均可展开为声压p的函数，例如
显然，在仅保留一阶小量O(ε)的近似下，声学量耦合方程中的ρ、β、κ和c皆可用下标“0”表示的静态值取代
于是，声学量耦合方程线性化为：
这是一对支配线性声波的基本方程。
对前一式求散度div，对后一式求时间偏导数在乘以ρ0，在两式相减即消去其中的速度v，得到有源线性声压波方程 ：
其中，拉普拉斯算符：
而常量：
有源线性声压波方程的右端是声场之源(声源)。可见，外力之作用和质量流之产生，均为声波之源。 也可看出，诸如重力等恒力，散度为零，不产生声波；而定常流源q，也不产生声波。若既无外力，又无体源，则有源线性声压波方程为标准的声波方程。
当然，也可以在线性声波基本方程的两个方程中消去声压p，从而得到速度v所满足的波动方程：
但这是一个矢量波动方程，数学处理不如标量波动方程方便。
若无体外力f=0【注1】，则对线性声波基本方程的第一式作实际积分：
可见，v=-grad(Φ)，其中函数：
称为速度势。所以，速度是有势的(或无旋的：rot(v)=0)【注2】，速度势是声压的时间积分。反之，声压可表为速度势的时间微分：
将其代入f=0的有源线性声压波方程，并对时间积分一次，得到速度势Φ所满足的有源波动方程：
声压p和速度势Φ皆为标量，皆可用于描述声场。一旦从上述波动方程求得速度势的解，就可以获得声压和速度场。
假设声场(或部分区域)无源分布，f=0，q=0，则线性声波基本方程简为如下一对基本方程：
式中κ0=1/β0，是流体媒质的体弹性系数。由此可立即导出齐次的声压波动方程：
而由有源波动方程知，速度势Φ在q=0时也满足形式完全相同的波动方程。
此外，容变率定义式的线性化形式为：
对其作时间积分，得出：
其中ξ是质点的位移矢量。又，状态方程的线性化形式是：
综上，声学量存在如下简单的关系
既然如此，ρ'、Δ、div(ξ)也服从形式与齐次声压波动方程一样的波动方程。
线性声波方程具有平面行波解，声压p和质点速度v皆可表为单变元ζ的函数：
式中n是传播方向的单位矢量，x是空间矢量。利用微分关系
立即可以验证此行波声压解满足波动方程。另一方面，把这些微分关系代入无源声波方程的第一式：
对宗量ζ积分一次，得到速度v和声压p的简单关系：
此乃除上一节介绍的声学量关系外平面行波声学量额外所具有的关系。比值：
反映了媒质的传声性能，谓之声特性阻抗率。
如果声场具有球对称性，对称中心是坐标原点，则根据拉普拉斯算符在球坐标下的表示齐次声压波动方程可表为：
式中，r是径向坐标。对此方程作数学变换：p→q，
则q满足如下一维波动方程
类似于上述线性声波方程解的形式，此方程具有如下形式的行波解：
或者回到原声压变量：
此乃沿径向传播的声压波，波阵面是球面，故谓之球面声波，其中正号表示沿径向外向(发散)传播的球面波，而负号则沿径向内向(会聚)传播的球面波。
【注1】如果外力是有势的，即
其中Ψ是f的势函数，则代替速度势表达式的是：
而声压表示的速度势则改为：
相应的速度势Φ所满足的波动方程是
【注2】事实上，速度势是无旋的结论，不仅适用于均匀媒质，也适用于非均匀媒质。一般而言，流体运动的欧拉方程可以写成
由于绝热过程中压强仅为单变量(例如，密度ρ)的函数，故上式右端可表成
于是，在线性近似下(忽略对流项：速度v的迁移导数 )，欧拉方程简化为
对方程两边作旋度操作，得到
所以，即使流体密度非均匀，速度势Φ也存在。与声压p一样，速度势Φ也是标量，可以方便地描述声场。究竟取声压还是速度势作为声场的描述量，殆取决于处理问题之方便性。
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