局域共振结构对弦波传播的影响，波动问题之基础
来源：网易聲之韻博客
作者：王新龍教授，南京大学声学所
弦上波动理论非但本身具有重要应用价值，而且是理解一维波动问题(如管道中平面声波等)之理论基础。根据达朗贝尔解，均匀无限长弦上的波可分解为相反方向传播的行波。但若弦非均匀，或存在异物，则会影响行波之传播，产生波的反射与透射现象。本文探讨弦上某处附有局域共振(locally resonant) 结构情形下的弦波传播问题。文中采用有效质量方法求解，简洁明了，有助于理解所涉的声学过程与机理。
图1. 左图：附着在弦上的质点振动系统，右图：悬挂处的类比线路。
设有无限长弦，在x=0处系有质量M的质点，该质点又经弹性系数为K之弹簧悬挂质量为m的另一质点，构成复合质点振动系统，如图1左图所示。入射的弦波ξi行至M处，一部分被反射，形成反射波(reflected wave)ξr，另一部分则透过M，形成透射波(transmitted wave)ξt。不失一般性，假定入射波(incident wave)的振幅为1，入射波ξi、反射波ξr和透射波ξt分别具如下形式：
其中ω是波的频率，k是波数，c是波速，r是反射波ξr相对入射波ξi的大小——反射系数，τ是透射波ξt相对入射波ξi的大小——透射系数。注意，反射系数r和透射系数τ一般是复数量。所以，质量M之左侧的入射区域，弦的波是入射波ξi与反射波ξr的叠加，而右侧仅有透射波ξt：
此解既满足弦的波动方程，又满足无穷远处的边界条件：在x→-∞处，有正向的行波ξi作为入射波射入，在x→+∞处，无反射波。左图虚线围起部分乃M-K-m力学系统之导纳型等效线路。
以下借助于有效质量概念描述集总参数系统对弦波传播的影响。根据《有效质量与有效弹性，负质量与负弹性系数》一文，质点M的有效质量Meff为：
其中ω0是m-K子系统的共振频率。有效质量Meff在左右两边弦的张力T的作用下产生位移为η的振动，其振动方程为：
在质点M处，还应满足位移连续的边界条件：
把由上得到反射系数和透射系数：
其中R0=ρc是弦的特性阻抗，ρ是弦的线密度。由此可见，当m-K子系统发生共振时，有效质量无穷大，反射系数等于1，入射波全反射。
相反，若：
则有效质量等于零，透射系数等于1，入射波无障碍全透射。
定义归一化频率z和质点m和M的力学品质因子Q如下：
借此，透射系数可表为如下简洁的形式（其中θ是透射系数的相位）：
首先，考察K-m子系统不存在之情形。此时，Meff=M，则只要取Qm=0，而ω0取任意参考频率即可。图2是此种情形下的透射幅度谱和相位谱。从中可见，由于质量M的存在，入射波被反射。随着频率的增大，反射越强，导致透射系数随频率衰减愈烈，乃至高频时趋于零。极高频时，M的惯性抗极大，所以入射波几乎全反射。
图2 只存在M时的透射谱：蓝实线为幅度谱|τ|，红虚线为相位谱θ。参数取值：Qm=5。
再看只存在K-m振子子系统情形。此时虽然M=0，但有效质量Meff并不为零，而且在子系统的共振频率处奇异。有效质量之存在极大地改变了波的透射，如图3所示。可见，由于z=1(共振频率)时，有效质量无穷大，入射波反射。这是一种共振反射(resonant reflection)。同时，在z=1处，透射波的相位发生180度的陡降。
图3 只存在K-m振子时的透射谱：蓝实线为幅度谱|τ|，红虚线为相位谱θ。参数取值：Qm=5。
最后，考察本文之重点——M和m共存之情形。下图4是透射系数的幅度和相位频谱。与只存在K-m子系统所相同的是，在z=1处发生全反射。与彼不同的是，在z>1某处出现了透射系数为1的共振透射(resonant transmission)峰，状似Fano共振谱。此处，透射系数等于零的现象是一种反共振(anti-resonance)，其发生盖因有效质量无穷大。此时，质量M点犹固定边界，入射波全反射。与此相反，共振全透射之所以发生，因有效质量为零之故。在给出的频率点，若质点M及单振子子系统均不存在。有意思的是，在反共振处，相位陡降180度，但在共振附近，又渐升180度。
图4 透射谱：蓝实线为幅度谱，红虚线为相位谱。参数取值：QM=Qm=5。
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