傅里叶变换的波形分辨率与频率分辨率
来源：老马迷图（ID：lmmtuestc）
作者：彭真明
我们知道，快速傅里叶变换 (FFT) 是信号处理的重要数学工具。一般而言，n点信号的离散傅里叶变换 (DFT) 的变换结果（频域）也是n个数据点。但在实际应用中，对实际信号作FFT时，常常涉及到变换前数据需要补零 (Zero padding) 的问题。一些论坛里，曾看到某些专业人士从信息论的角度分析认为：“Zero padding没有增加时域信号的有效信息，因此，不会改变DFT/FFT的分辨率”。那么，补零到底有什么用，什么时候需要补零呢？对于一般的工程技术人员来说，基本就是调用现成代码或模块进行计算，很少考虑这些问题。其实，了解和搞清楚这个问题，对实际应用还是很有帮助的。接下来，我们将从以下几个方面来简要阐述如何补零，以及它对频谱分析结果的影响。
什么是补零 ( Zero Padding )？
简单来说，补零 (Zero Padding) 就是对变换前的时域或空域信号的尾部添加若干个0，以增加数据长度。如图1所示，为含有1.00MHz和1.05MHz两个频率成分合成的正弦波实信号。
（a）
（b）
图1 时域信号的补零示意图
图1(a)中信号长度为1000个样点，采样频率为fs=100MHz时，信号的实际时长则为10us。在其尾部添加1000个0，即数据增加到了2000个点（时长为20us），则变为图1(b)所示的波形。
这个过程就是通常所说的补零（ZeroPadding）。
为什么要Zero Padding？
最直接的理由就是，如果时域波形的数据样点为2的整数幂的话，FFT计算将是最高效的，硬件 (FPGAs) 计算FFT，就是采用了这样的Padding工作模式。那么，我们所关心的补零会不会影响计算输出的频率分辨率呢？
关于FFT频率分辨率
这里涉及到两种意义下的分辨率问题，一种叫“波形频率分辨率 (Waveform frequency resolution”) 或叫视觉频率分辨率 (Visual frequency resolution)；另一种则叫做“FFT分辨率”。虽然，这个分类和命名不一定是很专业的术语，但却有助于对“频率分辨率”概念的理解。在没有补零的情况下，这两个概念通常容易被混淆，因为它们是等价的。
波形频率分辨率是指可以被分辨的2个频率的最小间隔 (Spacing)；而FFT 分辨率则是频谱中的数据点数 (The number of points in the spectrum)，它是与做FFT的点数直接相关的。
因此，波形频率分辨率可定义为：
其中，T是实际信号的时间长度。
同样，FFT分辨率可以定义为：
其中，fs为采样频率 (the sampling frequency)，Nfft为FFT的点数。ΔRf代表了FFT频率轴上的频率取值的间隔 (Spacing)。
值得注意的是，可能有很好的FFT分辨率，但却不一定能够很好的把2个频率成分简单的分开。同样，可能有很高的波形分辨率，但波形的能量峰值会通过整个频谱而分散开（这是因为FFT的频率泄漏现象）。
我们知道，信号的离散傅里叶变换 (DFT) 或快速傅里叶变换 (FFT) 是对波形的任何一边补零形成的无限序列进行计算的。这就是，为什么FFT的每个频率单元 (bin) 都具有明显的sinc波的形状。
波形频率分辨率1/T与一个sinc函数空值间隔 (the space between nulls) 是一样的。
例 析
下面以一个具有2种频率成分的周期信号为例，说明Zero Padding与频谱分辨率的关系：
其中，f1 = 1.00MHz，f2 = 1.05MHz，频率间隔为0.05MHz。也就是说，在我们的频谱分析曲线上能看到2个频率点的峰，若2个正弦波的幅度为1伏 ( V)，那么我们期望在1MHz和1.05MHz的频率点处的功率为10dBm。
分以下几种情况进行分析：
1. 时域信号1000个点采样，做相同样点数的FFT。
图2 原始信号的功率谱 (1000点 FFT)
图2中，我们并没有看见期望的两个脉冲，因为图中仅出现一个脉冲点，其幅度约为11.4dBm。显然，这个图并不是我们想要的正确的频谱图。原因很简单，没有足够的分辨率看见两个峰值 (Peaks)。
2. 时域信号1000个点采样，后端补6000个零，做7000点数的FFT。
我们自然想到，采用补零方式增加FFT点数，以使频率轴上能增加更多点数。如采用7000个点做FFT，即需要在原1000点信号尾部增加6000个零值（即60us时长），则原始信号变为图3(a)所示，其FFT结果如图3(b)所示。
（a）
（b）
图3 原始信号补零及功率谱 (7000点 FFT)
图3中，我们也并没有看见期望的结果。仔细观察一下，此图到底告诉了我们什么呢？即通过增加更多FFT点数的做法，使得波形频率分辨率公式中的sinc函数的定义更清晰。可以看出，sinc空值 (nulls) 间隔大约是0.1MHz。
由于给出信号的两个正弦波的频率间隔是按0.05MHz分隔的，因此，不管我们用多少FFT点数 (Zero padding)，都无法解决2个正弦波的问题。
再来看一下频率分辨率ΔRf告诉了我们什么。尽管，FFT分辨率大约为14kHz（足够的频率分辨率），而波形频率分辨率仅仅为100kHz。两个信号的频率间隔是50kHz，所以我们受限于波形频率分辨率ΔRw。
3. 时域信号7000个点采样，做7000点数的FFT。
为了合理地解决这个频谱的问题，需要增加用于FFT的时域数据的长度（点数）。因此，我们直接采集波形的7000点作为输入信号，取代补零 (Zero Padding) 方式到70us (7000 点) 。时间域信号及对应的功率谱分别如图4a-4b所示。
（a）
（b）
图4 按7000点采集的信号及其功率谱
通过时域数据的周期延拓，现在的波形频率分辨率ΔRw也近似为14KHz。但从频谱图中，我们还是看不见2个正弦波。1MHz信号已按正确的10dBm功率值清晰地表征，而1.05MHz 信号变宽，且未以期望的10dBm 功率分布。这是为什么呢？
原因就是1.05MHz处并没有FFT点的分布，此处的能量被多个FFT点分散（泄露）了。
给出的例子中，采样频率是100MHz，FFT点数为7000。频谱图中，点与点之间的间隔是14.28kHz。1MHz频率刚好为频率间隔的整数陪，而1.05MHz 却不是。距1.05MHz最近的整数倍频率为1.043MHz和1.057MHz，因此，能量被这2个FFT单元所分散。
4. 时域信号7000个点采样，后端补1000个零，做8000点数的FFT。
为了解决这个问题，我们可以合理选择FFT的点数，以便这两个点能在频率轴上成为独立分开的点。由于，我们并不需要更好的波形频率分辨率，仅采用时域数据的零填充方式来调整FFT数据点的频率间隔。
给时域信号增加1000零值 (10us)，使得频率间隔为12.5kHz，这样，满足了1 MHz and 1.05MHz两个频率都是这个间隔的整数倍。此时，给出的功率谱如图5所示。可以看出，两个频率问题得到解决，而且功率均在期望的10dBm。
图5 补零至8000点信号的功率谱
为了进一步观察过度补零的现象，通过时域补更多的零值 (10000点) 来完成更多点数的FFT（确保具有正确的波形频率分辨率ΔRw），我们就可以清晰地看到FFT单元 (bins) 的sinc波形状，如图6所示。
图6 补零至107000点信号的功率谱
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