理解波动系列文章：在有限结构上算出的"波动"
在网络论坛和甚至正式的学术会议中，关于结构动力学中的“波动方法”都是一个热点话题。尤其是其与工程上常用的以模态叠加法为基础的“振动方法”之间的区别和联系，更是值得深入玩味。其中有许多非常有意思的论点，有些来自于直观的工程经验，有些来自于对公式的粗略检视。比如，有的观点认为波动方法只能分析无界(无限大)结构的动力学行为，而振动方法只能分析有界(有限)结构的动力学行为。又有些观点认为有限结构在高频段就必须考虑“波动效应”，但什么是“波动效应”却语焉不详。实际上，“振动”方法和“波动”方法只是同一个问题的两种不同理解思路而已。换言之，他们都可以计算有界和无界结构在低频和高频动力学特性。为了说明这个观点，更好地辨析和理解“波动”和“振动”，最直接的办法是进行一些计算，看看所得的结果是否与预期相同。这也是本系列文章的目的。这里给出第一个算例。
算例目的
说明如下论点，即有限结构上也能出现“波动”现象，而这一现象的由最常规的“振动”分析方法获得。可以理解为“站在振动的立场上看波动”。为此，我们一个有限的结构，施加瞬态力载荷，并用有限元方法计算其瞬态响应。
概念约定
将以模态叠加法和动力刚度法为基础的结构响应求解方法称为“振动”方法，它们用一系列频率上离散的“模态”来刻画系统的固有特性；
将以傅里叶变换法为基础的结构响应求解方法称为“波动”方法，它们用“波数空间”(wave number space)来刻画系统的固有特性。
算例参数
材料弹性模量：2e11 Pa;
材料密度：7800 kg/m3;
梁长：2000 mm;
梁横截面：正方形2 mm ×2 mm;
阻尼：忽略一切阻尼;
边界条件：两端固支;
单元类型：BEAM188;
网格划分：沿梁长方向分为200段;
载荷：坐标原点处，沿Y方向的集中力载荷，其时间历程为：
此算例中，频率
计算软件：ANSYS
计算参数：瞬态动力学，完全法，计算时间范围：
计算结果
在瞬态动力学计算后，结构随时间的变形为：
分别选择激振点（x=0）和左侧传播路径上的一点（x=x0），绘出它们的时序响应，如下图：
红线：激振力时序历程
绿线：原点处的速度历程
蓝线：X负方向上一点的速度历程
讨论：这是一个在有限域上进行的瞬态计算，激振力只按照正弦形式持续了1个周期，后续的过程既可以理解为自由振动，也可以理解为波的传导。除了结构的振动，在结果中我们发现了较为典型的“波动”现象，尤其在波动尚未传递到边界时。而通过最后绘制的两个离激振点不同距离的点，绘制了它们的响应时程，更是清晰地发现了由于波传播引起的“滞后”现象。
由此可见，“波动”并不是什么特殊的现象，首先它可以发生在有限的结构上，其次波动现象可以由常规的结构动力学分析方法得到，诸如“因为我们用了有限元，有限元是振动方法，所以我们无法分析波动”这样的说法是不成立的。
这次计算是若干年前做的了，在计算之前与当时同一个实验室的同学打赌，让大家猜计算的结果大概长什么样子，猜错的请猜对的人吃饭。结果有些同学说一开始结构的所有点就会参与响应，有些甚至断言所有的点会以相同的相位响应。我虽然觉得应该是有一些部分先变形，另一些部分后变形，但是不确信这样的特性能否由ANSYS(有限元)这样的“振动”分析工具计算出来。其实现在想想，有限元哪里是什么“振动”分析工具，有限元就是一个普遍的动力响应分析工具，很多基于“波动”理论的方法也是以有限元为起点的。
感兴趣的话可以把APDL(见附)拿去跑一跑，多算一些时间，换一个更低/高的频率，再计算看看。
FINISH
/CLEAR
/PREP7
/eshape,1
BL = 1
BW = 2e-2
BH = 2e-2
NMESH = 100
ET,1,BEAM188
MP,EX,1,2.1E11
MP,PRXY,1,0.3
MP,DENS,1,7800
SECTYPE,1,BEAM,RECT
SECDATA,BW,BH,2,2
K,1,-BL,0,0
K,3,0,0,0
K,2,BL,0,0
L,2,3,NMESH
L,1,3,NMESH
LMESH,ALL
NSEL,S,LOC,X,-BL
D,ALL,ALL
ALLSEL,ALL
NSEL,S,LOC,X,BL
D,ALL,ALL
ALLSEL,ALL
!**********************
!模态分析
!**********************
!/SOLU
!ANTYPE,2 !指定为模态分析
!MODOPT,LANB,10 !指定提取特征值数及所用方法
!MXPAND,10,,,YES !指定扩展的模态阶数
!SOLVE
/PREP7
*SET,N_CIRCLE,20 !计算的周期数
*SET,NSTP_C,30 !每周期的载荷步数
*SET,FRE,10000 !载荷频率
*SET,CURR_T,0
*SET,DT,1.0/FRE/NSTP_C
*SET,PI,3.141592653
/SOLU
ANTYPE,4 !指定分析类型：动力学分析
TRNOPT,FULL !完全法
TIMINT,ON !时间积分效应
OUTRES,ALL,LAST !所有子步，所有记录写入DATABASE
*DO,I,0,N_CIRCLE-1,1 !外部循环：共计算N_CIRCLE个周期
*DO,J,1,NSTP_C,1 !内部循环：每个周期NSTP_C个载荷步
CURR_T=(I*NSTP_C+J)*DT !计算当前载荷步的时间点
*IF,I,EQ,0,THEN
ALLSEL,ALL
NSEL,S,LOC,X,0 !选择加载点
F,ALL,FY,100*SIN(2*PI*FRE*CURR_T) !施加当前时间点的载荷
ALLSEL,ALL
*ENDIF
ALLSEL,ALL
TIME,CURR_T !设置当前载荷步的时间点
AUTOTS,1 !自动时间步长
KBC,0 !载荷步之间线性插值：递增方式
DELTIM,DT/10,DT/12,DT/8 !本载荷步之中指定时间步长
LSWRITE,I*NSTP_C+J !写载荷步
*ENDDO
*ENDDO
LSSOLVE,1,N_CIRCLE*NSTP_C !求解所有载荷步
FINISH
本文原文2014年发布于声振论坛，2015年作者对本文进行了重编辑，对论述和讨论进行了增删。
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