100种分析思维模型之：泊松分布

你好，我是林骥。

在前面的 100 种分析思维模型系列文章中，曾经介绍过正态分布、幂律分布，下面再介绍另外一种应用广泛的概率分布模型：泊松分布。

1. 为什么学习泊松分布？

概率分布就像一个工具箱，泊松分布就是工具箱里的一种工具。当我们研究一个现象的时候，不妨运用假设思维，先大胆假设服从某种概率分布，然后再小心求证这个假设，以便从工具箱中找适合的工具。

你只有选择符合实际情况的概率分布，才能更好地预测未来，否则就有可能会出错。这就好比你在钉钉子的时候，选择的工具最好是锤子，而不是菜刀，否则就容易伤到手。

学习泊松分布的原理和运用方法，可以帮助我们从整体上把握随机事件发生的规律，完善我们对随机性的认识，以便做出更加准确的预测和决策，特别是提高风险防范的意识，更好地解决一些现实世界的问题。

比如，在购买保险的时候，很多人觉得小公司服务好，而且承诺同样的赔偿，于是选择小的保险公司，但事实上，万一遇到需要大额索赔的时候，有些小的保险公司是赔不出来的，其实就没能真正起到保险的作用。

在管理水平和效率差不多的情况下，保险公司的规模越大，风险往往就越小。因此，运用概率思维，我们应该优先考虑选择大的保险公司进行投保，避免花冤枉钱。

2. 什么是泊松分布？

泊松分布最初是由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在 1838 年提出来的，用于描述小概率事件的分布规律，比如机器故障、自然灾害等，事件的发生是相互独立的，且概率在时间或空间上是均匀分布的。

假设随机事件发生的概率是 p，进行 n 次独立的试验，发生 k 次的概率为：

这个公式看起来比较复杂，但是相当优美，而且用计算机算起来还是比较简单的。

其中 e 是自然常数，约等于 2.718。k 为事件发生的次数，等于 0, 1, 2 …… 

其中 λ 是单位时间内平均发生的次数，当 n 很大而 p 很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，λ = n*p。

其中 ! 是数学中的阶乘符号，定义 0! = 1，n! = n*(n-1)!，以此类推。比如，3! = 3*2*1 = 6。

假设一台机器平均每小时出故障的概率是 0.03%，如果想知道接下来 10000 小时发生故障的概率，那 λ 就等于 10000*0.03% = 3 次。

当 k = 0 时，P(X = 0) 就代表接下来 10000 小时不发生故障的概率，运用上面的计算公式，计算结果约等于 5%。也就是说，这台机器在 10000 小时内至少发生 1 次故障的概率高达 95%。

有些机器一旦发生故障，可能事关重大，甚至涉及生命安全。比如，在高速上行驶的汽车，刹车系统一旦失灵，就有可能造成严重的交通事故。

不怕一万，就怕万一。所以，对于一些非常重要的机器，务必要定期进行检查，提前预防意外事件的发生。

3. 怎么运用泊松分布？

为了简化计算的过程，我们可以借助 GPT 来计算泊松分布的概率，给 ChatGPT 发送以下指令：

对于泊松分布，假设随机事件发生的概率是 0.03%，进行 10000 次独立的试验，至少发生 1 次的概率是多少？

考虑到 GPT 不擅长数学计算，所以我接着让它写一段 Python 代码来实现快速计算，并检验上面回答的正确性。

运用上面的 Python 代码，得到的结果确实是 0.9502，即 95.02%，验证了 ChatGPT 回答的正确性。

有了 Python 代码之后，我们还可以举一反三，修改事件发生的概率和独立试验的次数，这样就能快速计算不同条件下的概率分布。

为了更加清晰地展现泊松分布的变化，我们继续让 GPT 用 Python 绘制概率分布的曲线，稍加修改之后的代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import factorial

# 设置中文显示字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']

# 定义泊松分布的概率质量函数
def poisson_pmf(k, lamb):
    return (lamb**k * np.exp(-lamb)) / factorial(k)

# 定义参数
p = 0.0003  # 事件发生的概率
n = 10000  # 独立试验的次数
lamb = n * p

# 生成 x 坐标轴的取值范围
x = np.arange(0, 11)

# 计算对应的泊松分布的概率质量函数值
pmf = poisson_pmf(x, lamb)

# 放大图表
plt.figure(figsize=(12, 6))

# 绘制概率分布曲线
plt.plot(x, pmf)
plt.xlabel('次数', fontdict={'fontsize': 16})
plt.ylabel('概率', fontdict={'fontsize': 16})
plt.title("进行 %d 次独立试验的概率分布" % n, fontdict={'fontsize': 20})
plt.grid(True)

# 调整刻度数字的字体大小
plt.xticks(fontsize=15)
plt.yticks(fontsize=15)

plt.show()

修改其中的 n 值，运行得到不同的概率分布曲线，从图中可以看出，随着试验次数的增加，泊松分布曲线越来越接近于正态分布曲线。

泊松分布特别适用于预测事件发生的概率。比如，通过对历史数据进行分析，我们可以预测某个时间段内到达某个地点的乘客数量，也可以检验某个机器的故障率是否符合预期，还可以估计某个地区在特定时间内发生车辆事故的概率，从而为保险费率的制定提供依据。

最后的话

在泊松分布出现之前，概率论与数理统计其实是两个互不相关的学科。概率论主要研究未发生的随机事件，也就是根据已知的模型和参数，预测未来的数据；而数理统计则主要是用来描述已经发生的现实。

自从泊松分布出现之后，概率论与数理统计产生了紧密的联系，这让统计学变得更加强大，我们可以根据已知的数据，去推测未知的世界，还原世界本来的样子，而且可以被验证。

很多人判定一件事发生的概率总是存在很大的误差，导致决策失误，损失惨重，其中一个重要的原因就是靠直觉，而不是靠严密的数学逻辑和推导。

通过学习和运用泊松分布，我们可以改变看待世界的方式，改变自己做决策的方式，甚至改变自己的心性，用更加理性的思维去解决问题。

比如，由于世界的不确定性和随机事件的存在，我们在准备资源时，只达到平均值是远远不够的，还需要准备一些冗余量。如果一个人忙得没有时间进行思考和休息，就难以摆脱「穷忙」的状态。

在《稀缺》这本书中，作者指出，当一个人处于稀缺的状态时，会产生很多危害，包括：认知能力下降、只关注眼前紧急的事、忽视真正重要的事、透支未来的资源、做出错误的决策、陷入恶性的循环等。

记住：凡事都要记得给自己留有余地，因为生活中难免会发生一些意外的随机事件。只有预留一定的机动时间，才能避免打乱正常的生活节奏，让自己的生活多一份从容。就好比在开车的时候，与前车保持一定的距离，这样才能更加安全地到达目的地。

总之，泊松分布是一种重要的概率分布模型，具有广泛的应用领域。通过学习和运用泊松分布，我们可以更好地理解和分析随机事件发生的规律，并用来预测未来发生的概率，进而帮助我们更好地用数据化解难题，让分析更加有效。

延伸阅读：

《刘嘉概率论通识讲义》

《吴军数学通识讲义》

相关文章：100 种分析思维模型系列

点击上面公众号卡片关注

每周二早上八点原创更新

和你一起用数据化解难题