数学：不教会算理，课上得再好都没用
学生真的懂理了吗？
偶然和几位五年级学生对话——
“你知道长方形的面积怎么求吗？”
“长乘宽啊，谁不知道！”
“为什么用长乘宽呢？”
“这又没有考！”
“老师好像也没有说为什么吧。”
同样的问题再问一位研究生毕业的同行，也是满脸尴尬：“是哦，为什么是长乘宽，这个问题我的老师也没有讲过啊。”
后来，有机会观摩了几节“长方形的面积”，课堂中师生很快地推导出长方形的面积公式，然后用大量时间进行各种巩固练习。
学生牢记公式，熟练应用，教师胸有成竹，教学过程流畅，整个课堂一派祥和，皆大欢喜。
课后访谈时，多数执教教师认为：这节课知识点简单，比较好上，学生也比较容易掌握。
回想起之前的对话，我陷入思考：这节课真的好上吗？学生真的理解长乘宽的道理了吗？上完这节课后，除了公式，我们又给学生留下了什么？
如何让学生明理？
数学是一门讲道理的学科，数学学科的定理、法则、算理等知识的产生、发展及每个规则的确定都蕴含着深刻的数学道理。
数学课堂应重视知识的形成过程，利用学生已有的生活经验、知识基础、认知结构，以有效活动为支撑，通过问题引领、对话交流、思辨提升、追根溯源，引导学生挖掘隐藏在数学知识背后的那些深层次的数学之“理”，从而促进“数学理解”，活化“数学思维”。
1
唤醒生活经验，在讲理中生长新知
在运用减法的性质进行简便计算时，学生总会出现类似于“100-（45 +15）=100-45+15”这样的错误，究其原因是学生不明其理，去掉括号后引起计算方法混淆。
其实学生在现实生活中购物时已经有了类似的生活经验，可以利用这个经验发现和讲清算理，可以把原题改变成类似的购物情境：“买一个45元的书包和一个15元的文具盒，付出100元，该找回多少钱？”并提出问题：“如果是你，你会怎么付钱？”让学生通过模拟现实中“付款、找钱”的过程，发现如果两个物品同时付款，那么给100元营业员找回40元，如果先买书包，再买文具盒，那么应该先拿走45元，再拿走15元。
这时学生就发现等式左边求的是两个物品的总价，再求找回的钱，即买两个物品后剩下的钱，可等式的右边表示的却是先求买了书包剩下的钱，再添上文具盒的钱，等式两边意义不相同，所以“100-45+15”这样计算是错误的，而应该是“100-45-15”。这样依托购物情境，唤醒学生的生活经验，让学生讲清“先加后减”以及“先减再减”的算理。
利用生活经验与数学知识对话，讲清算理，让“生涩难懂”的数学道理变得“熟悉亲切”，学生就比较容易掌握其中规律进行简算。
2
设计有效活动，明晰知识产生之理
“小数的初步认识”一课，很多教师认为这一知识建立在学生已有的生活经验之上，不需要怎么教学生就会了，导致学生学习后仍对小数的认识不深刻，对小数说不出个所以然。课到最后，学生仍存在困惑：“我们都学习了整数，为什么还要学习小数？”
为此，国外的一本教材中设计了这样一个数学活动：剪一张长方形纸条，用它测量教室中不同物品的长度，尽可能测量得准确一些。
这个活动立足小数产生的源头——度量，在测量过程中，学生发现仅用整数来表示物品的长度是不够准确的，需要将纸条再划分成若干份，有学生分成2份、3份……有学生分成10份。无论采用哪种分法，学生都感受到了引入新数的必要性。
数学知识的产生立足于前人及学者的经验积累之上，是各种生活及数学活动的产物。要引导学生自己寻求知识产生的起因，探索与其他事物的联系，让孩子们在形式多样的学习活动中感悟，明晰知识产生的道理，促进有效学习。
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经历抽象过程，领悟知识形成之理
抽象是数学最基本的特征，它舍弃了事物的其他方面而仅仅保留数量关系和空间形式。由于儿童尚处在从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡阶段，对抽象的数学概念、规则尚不能完全理解，因此，要让学生经历知识的形成过程，借助自己的经验不断“数学化”，逐渐抽象形成数学知识。
例如开头提到的“长方形的面积”一课，教师往往围绕“长方形的面积=长×宽”这一公式展开，结果课到最后，学生依然存在困惑：“为什么长是长度，宽也是长度，它们一相乘，就变成面积了呢？”
为此，在教学中，教师可以依次提供如下四个图形，让学生经历从数格子到不数格子的抽象过程，由借助方格图得到长方形的面积，到直接给出长和宽的长度，发现长与每行的个数、宽与行数之间的关系，从而领悟长方形面积公式形成的道理所在。
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沟通已有认知，在辨理中把握本质
教学“小数加、减法”这节课时，在学习这部分内容之前，学生在以往的学习中积累了关于人民币计算的知识，且已经掌握了整数加、减法以及能进行简单的一位小数加、减计算。所以新课伊始，教师创设了微信抢红包的情境：“我女儿收到了两个红包，算算一共多少钱？”学生说算式135+54，教师在黑板上板书出竖式。
“老师也收到了红包，算算老师一共收到了多少钱？怎样列竖式？”学生出现了②、③两种不同的算法：
学生比较竖式①和②时，马上发现竖式②错了。教师说：“竖式①末位的5 和4对齐了，竖式②末位的5 和4 也对齐了，没错。”
此话一出，立刻引起了学生的反驳：“1.35元加上5.4元不可能是1.89元，竖式②肯定错了！”“竖式①末位的5和4都表示元，可以对齐，竖式②末位的5和4表示的不一样，不能对齐。”
教师追问：“竖式②末位的5和4哪儿不一样呀？”
学生：“5表示5分，4表示4角，不能相加！”
教师继续追问：“为什么不能相加？”
学生水到渠成地回答：“单位一样才能相加。”“要像竖式③一样把小数点对齐了，才是对的。”
教师追问：“为什么要把小数点对齐呢？”
学生：“小数点对齐就能把十分位和十分位对齐，百分位和百分位对齐。”“个位上是1个1加5个1，十分位上是3个0.1加4和0.1，百分位上就只有5个0.01。”
通过对比整数和小数的算法，学生总结得出：“不管是整数加法还是小数加法，都要把相同数位上的数相加。只不过整数加法表现为末位对齐，而小数加法表现为小数点对齐。”
这一过程，联通了整数与小数加、减法之间脉络，通过比较、沟通、思考、内化，由点及面，让学生在说理中比较，在比较中凸显对“相同单位”的认识，充分挖掘“相同的计数单位才能相加、减”这个算理的本质，形成对“小数点对齐”的计算规则的深刻理解。通过将学生储存的知识调动起来，与新接触的内容相印证，这样的辨理过程让学生不仅能知其然，还能知其所以然，让学生深度理解知识，直达知识的核心。
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联结知识结构，在明理中构建体系
数学知识结构既有知识发展的纵向逻辑线索，又有不同内容和方法之间横向的实质性联系。它是具有逻辑性、系统性的整体性结构，在教学中不能纯粹为教知识点而教知识点，而应通过对比沟通、深入思考、有效对话，在头脑里形成系统化、结构化的数学知识体系，以实现数学知识掌握的举一反三、触类旁通，从而让学生从整体上把握数学知识结构，完成知识体系的完整建构。
例如，教学“比的基本性质”这节课时，在学习这部分内容之前，学生已经学习了比的意义，知道了比与除法的关系、分数与除法的关系。于是，在教学过程中着重于纵横联结沟通分数、除法与比三者的内在关系，向学生渗透事物是普遍联系的观点。
第一层联结：用结构图阐明三者的关系。
教师首先写出两个数7和8，让学生说说两个数之间的加、减、乘、除的不同关系，当学生说到7÷8时，教师提问：“7÷8的结果用分数怎么表示？”根据学生的回答板书“7÷8=7/8”。
教师继续追问：“像这样两个数相除也可以叫做什么？”由此引出比的意义，随着学生的回答教师完善板书“7÷8=7/8=7∶8”，随着等号的联结，教师对照板书“被除数÷除数=被除数/除数=前项∶后项”，紧接着引导学生用“相当于”来说清三者之间的联系与区别，再次对照板书“一种运算”、“一个数”、“一种关系”，至此，通过思维导图的联结，沟通并梳理了“除法”、“分数”与“比”三者之间的关系，显示出了三者“一脉相通”的“亲密感”。
第二层联结：用猜测推理比的基本性质。
根据上述知识块之间的内在联系和逻辑推理，从商不变的性质到分数的基本性质，学生自然而然地猜想到“比”也应该有一个“性质”，通过计算举例验证得到：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。这样，通过联系猜测，再到推理验证，比的基本性质就水到渠成，呼之而出了。
第三层联结：用联想引发比的基本性质的应用。
继续利用构造图延伸拓展，以旧引新。教师提出问题：“分数的基本性质可以用来约分、通分，商不变的性质可以把除数是小数的除法转化为除数是整数再进行计算，也可以用来进行简便运算，那么，比的基本性质又有什么实际作用呢？”
有的学生就会类比联想：如果前项和后项是小数，可以同时扩大为整数；也可以把前、后项数字稍大的整数比化简。
在学生猜想的过程中，教师让学生举例来说明，使自己的推理更有说服力，紧接着就紧紧扣住“化简”这一思路，引导学生共同探究“化简比”……
以上环节，紧紧围绕“联系”来组织教学。纵向联结式子、概念、应用，横向联结分数、除法、比，三横三纵三次沟通，引发了学生猜测和验证，不仅完成了本节课的核心目标——比的基本性质和应用，而且在这个过程中让学生将一个个知识“点”连接成“串”、形成知识“链”，进而构成牢固的知识“网”。并在有理有据的对知识系统的总结、消化、提炼和升华的过程中，做到优化数学知识结构，完善学生认知结构，构建完整的数学知识体系。
6
凸现实践价值，感受知识应用之理
讲道理的课堂中，仅有数学程序性知识的学习是不够的，还要把这些程序性知识应用到实践中，成为学生的思维工具，感受数学知识的应用之理。
例如，教学“比的认识”，教师在课的最后出示生活中砌墙常用的红色黏土砖，让学生度量其长、宽、高。在告知我国标准黏土砖的尺寸为240mm×115mm×53mm后，追问：“为什么砖头的长、宽、高要确定为这个标准呢？”
在学生的认知中，砖头的长宽高的长度就是规定的，这还能有道理吗？当学生认真去探究这一尺寸规定的道理时，他们就会发现：标准尺寸240mm×115mm×53mm加上砌筑用灰缝的厚度8～10mm，这样一来，砖的长、宽、高之比就为4∶2∶1，按照这个比例，在砌墙的时候，工人师傅就可以根据所砌墙体的不同厚度，横竖交杂地摆放砖头，且保证砖头之间不留空隙，让墙平整而又牢固。
这一探究过程，把课内的数学知识延伸到课外，学生学会从数学的角度运用所学的知识和方法解释生活中的现象，感受数学知识在生活中的合理应用。
讲道理的策略还有很多，但是归根究底，教师首先要提升自己的数学专业素养，设计有效的教学策略让学生明白道理。在课堂教学中，要留给学生充足的时间和空间，激发学生在讲道理中理解知识本质，促进学生真正地掌握知识、驾驭知识，发展思维，增强能力，使学生在“讲道理”中发展学科综合素养。
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