湘教版九年级数学上册知识点总结

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第1章 反比例函数

1.2 反比例函数的图象与性质

1.3 反比例函数的应用

本章复习与测试

第2章 一元二次方程

2.3 一元二次方程根的判别式

2.4 一元二次方程根与系数的关系

2.5 一元二次方程的应用

本章复习与测试

第3章 图形的相似

3.1 比例线段

3.2 平行线分线段成比例

3.4 相似三角形的判定与性质

3.5 相似三角形的应用

本章复习与测试

4.1 正弦和余弦

4.2 正切

4.3 解直角三角形

本章复习与测试

第5章 用样本推断总体

5.1 总体平均数与方差的估计

5.2 统计的简单应用

本章复习与测试

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知识点总结

第一章 反比例函数

一、反比例函数

反比例函数及其图象的性质

1．函数解析式：

2．自变量的取值范围：

 3．图象：

（1）图象的形状：双曲线．

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．

（2）图象的位置和性质：

与坐标轴没有交点　

当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；

当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．

二、二次函数

²相关概念及定义

二次函数的概念：一般地，形如的函数，叫做二次函数。

²二次函数各种形式之间的变换

Ø二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

²二次函数解析式的表示方法

Ø一般式：

Ø顶点式：

Ø交点式：

²二次函数的性质

a的符号	开口方向	顶点坐标	对称轴	性质
a>0	向上	(0，0)	y轴	x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．
a<0	向下	(0，0)	y轴	x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．

²二次函数的性质

a的符号	开口方向	顶点坐标	对称轴	性质
a>0	向上	(0，c)	轴	x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．
a<0	向下	(0，c)	轴	x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．

²二次函数的性质：

a的符号	开口方向	顶点坐标	对称轴	性质
a>0	向上	(h，0)	X=h	x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0．
a<0	向下	(h，0)	X=h	x>h时，y随x的增大而减小；时，随的增大而增大；x=h时，y有最大值0．

²二次函数的性质

a的符号	开口方向	顶点坐标	对称轴	性质
a>0	向上	(h，k)	X=h	x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k．
a<0	向下	(h，k)	X=h	x>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．

第二章 一元二次方程

一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax²+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系数含义

一般式：ax²+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

2、分解因式法

3、配方法

4、公式法

（1）求根公式 ：

b²-4ac≥0时，

(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义

一、将方程化为一元二次方程的一般ax²+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；

二、计算b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，方程有实数根（＞0有两个实数根，=0两个相等实数根）.当b²-4ac＜0时，方程无实数根；

三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。

知识结构图

要点复习：

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误;因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法;配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：

Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;

Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等).

4. 一元二次方程的根系关系： 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：

一元二次方程根的判别式

01

什么是根的判别式？

任意一个一元二次方程  均可配成  ，因为a≠0，所以4a²>0. 由平方根的意义可知，  的符号可决定一元二次方程根的情况．

 叫做一元二次方程  的根的判别式，用“△”表示(读做“delta”)，即△=  ．

02根的判别式怎么用？

在一元二次方程  中：

（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；

（3）当△<0时，方程没有实数根．

（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有实数根．

上面结论反过来也成立，即：

①当方程有两个不相等的实数根时，△>0；

②当方程有两个相等的实数根时，△=0；

③当方程没有实数根时，△<0。

（1）和（2）合起来：当方程有实数根时，△≥0．

注意：根的判别式是△=  ，而不是△=  。

03课程标准对“根的判别式”有什么要求？

一元二次方程根与系数的关系

根与系数的关系

有公式法知，当一元二次 方程 ax2+bx+c=0 有解时，方程的根为 x=2a−b±√b2−4ac，则 x1+x2=−ab，x1⋅x2=ac．

所以我们得到：

1. 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数．

2. 两个根的积等于常数项与二次项系数的比．

注意：

在运用根与系数的关系解决问题之前，必须先考虑一元二次方程的根是否存在 ( ∆ 判别法)，不然没有意义．

推论：

1. 如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=−p，x1x2=q．

2. 以 x1，x2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2−(x1+x2)x+x1x2=0．

一元二次方程的应用

概念

等号两边都是整式，只含一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

条件

①是整式方程；

②只含一个未知数；

③未知数的最高次数为2

一般形式

一元二次方程的一般形式是，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

解

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。

如何去判断一个数值为一元二次方程的解的方法：将此数值带入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之则不是一元二次方程的解。

第三章  图形的相似

1、 线段的比

一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，

那么这四条线段叫作成比例线段

2、比例的基本性质

 如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ， 那么ａｄ ＝ ｂｃ．

3、相似三角形的性质和判定

角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三

角形． 如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 相似， 且Ａ′， Ｂ′， Ｃ′分别与Ａ， Ｂ， Ｃ 对应， 那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比

判定定理１ 三边对应成比例的两个三角形相似．

判定定理２ 两角对应相等的两个三角形相似.

判定定理３ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

相似三角形周长的比等于相似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方

4、相似多边形

把对应角相等，并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形．

相似多边形的对应边的比ｋ 叫作相似比．

    相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方．

取定一点Ｏ， 把图形上任意一点Ｐ对应到射线ＯＰ （或它的反向延长线）上

一点Ｐ ′ ， 使得线段ＯＰ′与ＯＰ 的比等于常数ｋ（ｋ ＞ ０）， 点Ｏ 对应到它自身， 这种变换叫作位似变换 ， 点Ｏ 叫作位似中心， 常数ｋ 叫作位似比， 一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形．从位似变换和位似的图形的定义立即得出：

两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

5、相似多边形的性质

性质１ 相似多边形的对应边成比例

性质２ 相似多边形的对应角相等．

性质３ 相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似

比的平方．

6、相似多边形的判定

对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似．

复习提纲

第四章、锐角三角函数

锐角三角函数的概念   

   如图，在△ABC中，∠C=90°

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

锐角三角函数的取值范围：0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0.

锐角三角函数之间的关系

（1）平方关系

（2）倒数关系

tanAtan(90°—A)=1

（3）弦切关系

tanA=    cotA=

（4）互余关系

sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)

tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)

特殊角的三角函数值

说明：锐角三角函数的增减性，当角度在0°~90°之间变化时.

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

复习

统计的简单应用

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