北师大版八上数学1.1 探索勾股定理
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勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。
1、勾股定理只适用于直角三角形中，所以应用勾股定理的前提是直角三角形，若没有，需要构造直角三角形；
2、勾股定理的理解可以借助“形”：直角三角形中两直角边构成的正方形面积之和等于斜边构成正方形的面积；也可以借助“数”：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3、在应用勾股定理时不能死记硬背“a的平方加b的平方等于c的平方”，而是要特别注意题目当中要求哪个角是直角，也就是确定哪的字母表示斜边。所以要求在表述勾股定理的时候不能单纯的背字母，而应该用语言描述。
4、在实际解题的过程中，要把常用的勾股数组做个积累，为以后快速且准确的解决题目做好准备工作。
勾股定理
(1)内容：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
(2)表示方法：
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么.
类比方格纸
欧几里得几何证法----------
“面积相等”
“几何证法”
“相似”
柒
“切线长”
图文解析
教学设计
一、教学目标:
（一）知识与技能目标：
1、用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
2、经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
3、进一步发展说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
（二） 过程与方法目标：
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。
（三）情感态度与价值观目标：
1、在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进学习数学的信心，感受数学之美。
2、在使用勾股定理的过程中，感受数学与生活之间的深刻联系，增强学生的环保意识与社会公德心。
3、在探索过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气。
4、利用远程教育资源突出介绍中国古代勾股方面的成就，体现数学的文化价值,民族自豪感油然而生。
二、教学重点：勾股定理及勾股定理的探索与简单运用
教学难点：能用拼图求面积的方法探索勾股定理及应用勾股定理解决一些实际问题。
【难点成因】在小学，学生已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法）但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够，而对于新知识的不熟悉，在面对问题时考虑不到去应用，因此形成了难点。
三、教学方法与教学手段
1.教学方法：范例分析法—差异势能讲解法—分层教学法,主要通过任务驱动的方法开展教学．
2.学习方法：引导学生经历发现问题-思考问题-解决问题的过程.学生学习以自主探究与合作交流,成果展示法相结合的学习方法．
3.教学手段：ppt课件，百度平台图片,十六进制平台一课两测功能.
四、教学过程
第一环节：创设情境，探索新知；(3分钟)
内容：投影显示科学宫勾股定理实验装置，引导学生思考装置的玩法，蕴含的数学知识，等量关系与数学原理。
你想知道这个装置的原理是什么吗？今天我们就来一同探索勾股定理的奥妙吧．（板书课题）
意图：紧扣课题，自然引入，激发学生学习热情，引发学生好奇心.
效果：激发起学生的好奇心与学习热情。
第二环节：猜测结论，获取新知；(15分钟)
1.内容：回顾预习作业：1.直角三角形的三条边存在着怎样的数量关系？2.你是怎样得出结论的？（学生口答，完成作业）
意图：将课堂扩展到课外，是学生能够亲手测量，亲身体会直角三角形的三边关系，也体会到测量中的不准确性，加强学生动手能力和计算能力，以及总结能力。
效果：学生测量总结的很好，体会到了测量的不准确性，并有额外的收获，总结了钝角三角形及锐角三角形三边平方间的关系。
2.内容：正因为测量的不准确性，我们可以使用其他方法来推导：
投影显示1955年希腊发行的纪念勾股定理的邮票图片中的图形类似于课程开始前的装置图形，并将图形放大，并在方格纸中探索图中直角三角形三边上的正方形面积的关系。
学生由独立思考—合作探究—独立总结求图形中面积的方法：数格子，面积公式，拼补，分割等。
意图：让学生感受数学中的一题多解，以激发学生的学习兴趣。并且这一过程有利于培养学生严谨、科学的学习态度，感受勾股定理的悠久历史及在历史中的重要地位。培养学生独自探索解决问题的习惯，与合作交流意识及沟通能力。
效果：学生探索热情高涨，方法多种多样，语言描述略有欠缺。
3.内容：用方格纸作出不同形状，不同大小的直角三角形，并选择适当的方法求出直角三角形三边上的正方形面积，找出这三个正方形面积之间的关系
意图：让学生自己动手实践，亲身去计算，既感受到不同形状，不同大小的直角三角形的三边都存在这种数量关系又可以熟悉刚刚学会的割，补等方法。
效果：学生感受到了只要是直角三角形就具有这样的数量关系，割补方法用的很熟练。
第三环节：归纳验证，完善新知；(3分钟)
内容：1.所有画图所得的结果总结三角形三边上的正方形面积间的关系。进而找出直角形三条边之间的数量关系。
2.勾股定理的内容及几何书写表示方法。（板书内容）
3.学生根据在网络上收集的勾股定理的资料介绍勾股定理（教师补充）
意图：规范学生的书写格式，以培养严谨的学习态度.并使学生更加有效的利用互联网平台来学习，让学生了解勾股定理的历史，增强爱国情感和民族自豪感，扩展学生的知识面，使有限的课堂无限向外延伸。
效果：学生收集了很多关于勾股定理的历史，证明方法多种多样的名字的资料，产生了浓厚的学习兴趣，很为我们的祖先为我们所留下的丰富的文化遗产而自豪。
第四环节：解决问题，应用新知；(12分钟)
内容：1.小试牛刀：a.如图，在△ABC中, ∠C=90°，a=5,b=12, 则c=
b.求出下列直角三角形中未知边的长度
c.在一个直角三角形中, 两边长分别为6、 8,则第三边的平方为
d.求下列图中字母所代表的正方形的面积：
e.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2
意图：直接使用勾股定理解决数学问题,提高学生自信,和知识的熟练度.
效果：学生完成较好,课堂气氛活跃.
2.带着勾股定理走进生活：a.如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索？
b.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处。大树在折断之前高多少？
3. 你还能编出一些关于勾股定理的问题吗？
4.一个矩形引发的思考：a.知长宽求对角线，b.践踏草坪的问题等
意图：题目从浅入深，从数字到应用，从教师的题目到学生的自编题，从分散到系统，符合学生的学习思维过程，使学生对勾股定理的应用一步步加强，形成自己的解题思路，体会数学的逻辑之美，与图形之美，感受数学与实际生活的密切联系，增强学生的环保意识与社会公德心。
效果：学生在错中总结，在题中提高，对于编写勾股定理问题和一个矩形引发的思考中表现的尤为出色，展现了个人魅力与能力。
第五环节：课堂小结，巩固新知．(5分钟)
内容：提出问题：你有哪些收获呢？请把你的收获记录在你的笔记上。
意图：使学生回顾整个课堂教学，总结所得。
效果：学生从知识上，方法上，思想上，爱国情感上，环保意识上分别表述了自己的不同收获，让我都觉得耳目一新，落在笔上，留下记忆。
第六环节：布置作业，拓展新知.(2分钟)
内容：复习作业:P4知识技能2（全做）P4数学理解3（AB层）P4问题解决4（A层）
预习作业：搜集勾股定理证明的资料
意图：复习旧知，预习新知，分层学习，使每个人得到不同的进步。
效果：复习预习同时进行，是课堂进一步拓展到课外，提高了教学的有效性。分层作业的方法能够使各个层次能够使各个层面的学生都能够在原有的基础之上有所提高,使每个人得到不同的进步.
五、板书设计：
六、教学反思
（1）设计理念
依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.
（2）突出重点、突破难点的策略
本节课的重点是体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单的问题.在教学过程中,教师先通过“科学宫里的模型”，创设情境,激发学生学习热情,同时为探索勾股定理提供背景材料,再由“勾三股四弦五的直角三角形”到“所有直角三角形”,这也渗透了从特殊到一般的数学思想。学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．在探索过程中,学生的类比迁移能力和探索问题的能力也得到发展.接下来,通过画图活动,使学生对定理的理解更加深刻,同时也让学生体会到了数学中的数形结合思想.在最后的小结过程中,学生积极交流,在相互欣赏.互助中得到提高,同时也体会到了收获的喜悦.
（3）分层教学，拓展资源
每个层面的学生会有不同的收获，每个层面的学生尝试不同的方法，针对学生特点，分别在课前，课上，课后拓展学习内容，得到不同的体会。
（4）人文教育贯穿始终
无论是勾股定理的历史背景，重大影响，还是习题中的环保意识的宣扬，都对学生产生着深远的影响，我们既为我们的祖先为我们留下丰富的文化遗产而自豪，又为日常生活中只是贪图几步的方便而践踏草坪而羞愧，那么明天我们又该怎样呢？中国的明天，数学的明天需要的是我们的努力，美好的环境需要我们去守候，不断向前，美好的明天属于我们青少年！当然本节课还有许多的不足之处，如语言的组织等还有待于进一步雕琢，进一步加强。
（5） 课后反思：
《放手让学生去探索》
苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而儿童的精神世界上，这种需要特别强烈。”以前我总是“霸占”着课堂的主要时间和话语权，学生被动地听、机械地练，课后只是为了完成而做作业。在设计这节课前，我越来越觉得这种教育方法所带来的问题越来越多，学生学习的兴趣越来越低；遇到问题，不是急着去寻找解决的方法，探索解决的途径，是“等”，“靠”，“推”，长时间下来课堂的效率越来越低了，于是在课前，我决定换一种方法，让学生自己去寻找解决问题的方法，放手让学生去探索：
第一， 我在课前布置了一个预习作业：让学生自己去寻找方法探索直角三角形的三边数量关系，本来以为学生会去教材上寻找答案，然后就交差了事，但是出乎我的意料的是，学生通过测量的方法，不但得出了直角三角形三边的数量关系，还有的同学发现了钝角三角形，锐角三角形的三边平方之间的关系，也有的同学指出了测量过程中会出现误差，计算会“差一点”，不能仅仅用测量的方法来得出这个结论，使得我们去寻找其他方法来推到结论。
第二，在探索方格纸中图形面积时，学生就发现了数格子，面积公式，拼补，分割等方法来求图形的面积，方法多种多样。
第三， 对于课外的收集勾股定理资料，所倾向的角度各有不同，有从勾股定理发现的时期入手的，有从勾股定理的证明方法入手的，有从勾股定理的各种名字的由来入手的，有从勾股定理的各方面应用入手的，因为课堂时间的关系，都没有让大家全说完，真是让我的震撼一阵接着一阵。
第四，在课堂小结时间，孩子们又七嘴八舌地从知识上学会了直角三角形已知任意两边，去求第三边，说到学会了拼补，分割的方法去求不易求的图形面积，又说到了学会用类比的思想去探索不同形状，不同大小的直角三角形的三边关系，又说到了了解了勾股定理的好多相关知识，又说到了我们古代的数学成就给我们带来了民族自豪感，还说到了保护环境的公益心……真真的让我应接不暇。
叶圣陶先生说过：教是为了不教。作为一名新课改带动下的教师，作为一名倡导高效课堂的教师，我努力由“传授者”转变为“组织者、引导者、学习者”，由 “指点者”转变为“合作者”，由 “评判者”转变为“发现者”，相信学生的潜力，给学生足够的时间，空间，放手让学生去探索吧！
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