中学数学《一元二次方程根与系数的关系》知识点精讲

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一元二次方程的根与系数的关系 讲解

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知识点总结

一、一元二次方程根与系数的关系

（1） 若方程ax2 bx c 0 (a≠0)的两个实数根是x1，x2，

则x1+x2= -bc，x1x2= aa

（2） 若一个方程的两个根为x1,，x2，那么这个一元二次方程为

ax2 x1 x2 x x1x2 0 (a≠0)

（3） 根与系数的关系的应用：

① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；

② 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.

③ 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如；

④ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.

二、解一元二次方程应用题：

它是列一元一次方程解应用题的拓展,解题方法是相同的。其一般步骤为：

1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知

数的代数式表示题目中涉及的量；

2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；

3．解：解所列方程，求出解来；

4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；

5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。

一元二次方程的练习题

1、 若关于x的二次方程(m+1)x-3x+2=0有两个相等的实数根，则m=__________

22、 设方程x 3x 4 0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=________，x1·x2=__________ 2

x1+x2=_________，（x1-x2）=__________，x1+x1x2+3x1=____________

23、 若方程x-5x+m=0的一个根是1，则m=____________

24、 两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是_____________

25、 若关于x的一元二次方程mx+3x-4=0有实数根，则m的值为______________

226、 方程kx+1=x-x无实根，则k___________

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导学案

【学习目标】

1、学会用韦达定理求代数式的值。

2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。

3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。

4、能应用韦达定理分解二次三项式。

【内容分析】

韦达定理：对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果方程有两个实数根x,x，那么x+x=-b/a,x×x=c/a

说明：（1）定理成立的条件b-4ac≥0

（2）注意公式x+x=-b/a中的负号与b的符号的区别

根系关系的三大用处：

一、计算对称式的值

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

【练习】

1．设x，x是方程2x－6x＋3＝0的两根，则x＋x的值为_________

2．已知x，x是方程2x－7x＋4＝0的两根，则x＋x=____，x·x＝____，（x1－x2）＝____

3．已知方程2x－3x+k=0的两根之差为2，则k=___;

4．若方程x+(a－2)x－3=0的两根是1和－3，则a=____;

5．若关于x的方程x+2(m－1)x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为__ ;

二、构造新方程

理论：以两个数x,x为根的一元二次方程是x-(x+x)x+xx=0。

例解方程组 x+y=5

xy=6

解：显然，x，y是方程z-5z+6＝0 ① 的两根

由方程①解得 z=2,z=3

∴原方程组的解为 x=2,y=3

x=3,y=2

显然，此法比代入法要简单得多。

三、定性判断字母系数的取值范围

【典型例题】

已知关于x的方程x-(k+1)x+k+1=0，根据下列条件，分别求出k的值．

(1) 方程两实根的积为5；

(2) 方程的两实根x,x,满足∣x∣=x．

分析：

(1) 由韦达定理即可求之；

(2) 有两种可能，一是x=x＞0，二是-x=x，所以要分类讨论．

说明：

    根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足b-4ac≥0。

例题讲析

【例1】设x₁、x₂是方程x²+4x﹣3=0的两个根，2x₁(x₂²+5x₂-3)+a=2，则a=　．

【分析】根据方程根的定义、根与系数的关系，可得x₂²+4x₂﹣3＝0，x₁+x_2＝-4，x₁•x₂＝-3，然后化简所求的代数式，代入求值即可．

【解】依题意，得

x₁+x₂=﹣4，x₁•x₂=﹣3，

x₂²+4x₂﹣3＝0，得x₂²+5x₂-3=x₂．

又∵2x₁（x₂²+5x₂﹣3）+a=2，

∴2x₁x₂+a=2×(-3)+a＝2，

解得a=8．

【拓展1】已知关于x的一元二次方程（x﹣m）²+6x=4m﹣3有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）设方程的两实根分别为x₁与x₂，求代数式x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的最大值．

【解】（1）由（x﹣m）²+6x=4m﹣3，

得x²+（6﹣2m）x+m²﹣4m+3=0．

∴△=（6﹣2m）²﹣4×1×（m²﹣4m+3）=﹣8m+24．

∵方程有实数根，

∴﹣8m+24≥0．解得 m≤3．

∴m的取值范围是m≤3．

（2）∵方程的两实根分别为x₁与x₂，由根与系数的关系，得

∴x₁+x₂=2m﹣6，x₁·x₂＝m²-4m+3，

∴x₁·x₂－x₁²﹣x₂²

=3x₁x₂-(x₁+x₂)²

=3（m²﹣4m+3）﹣（2m﹣6）²

=﹣m²+12m﹣27

=﹣（m﹣6）²+9

∵m≤3，且当m＜6时，

﹣（m﹣6）²+9的值随m的增大而增大，

∴当m=3时，x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的值最大，最大值为﹣（3﹣6）²+9=0．

∴x₁•x₂﹣x₁²﹣x₂²的最大值是0．

【拓展2】如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b²+c²=2a²+16a+14与bc=a²﹣4a﹣5，求a的取值范围．

【分析】由已知得（b+c）²=4（a+1）²，得到b+c=±2（a+1），又bc=a²﹣4a﹣5，则b，c可看作一元二次方程x²±2（a+1）x+a²﹣4a﹣5=0的两个不相等实数根，再利用根的判别式计算a的范围（但此时仅能保证b≠c），需注意再讨论b和c分别和a相等时舍去．

【解】∵b²+c²=2a²+16a+14，

bc=a²﹣4a﹣5，

∴（b+c）²=2a²+16a+14+2（a²﹣4a﹣5）=4a²+8a+4=4（a+1）²．

即有b+c=±2（a+1）．

又bc=a²﹣4a﹣5，

所以b，c可作为一元二次方程x²±2（a+1）x+a²﹣4a﹣5=0的两个不相等实数根，

所以△=4（a+1）²﹣4（a²﹣4a﹣5）=24a+24＞0，解得a＞﹣1．

若当a=b时，那么a也是上述方程的解，∴a²±2（a+1）a+a²﹣4a﹣5=0，

即4a²﹣2a﹣5=0或﹣6a﹣5=0，解得

应用例析及练习

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？

　　分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

　解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，

∴

解得；

∵方程（2）没有实数根，

∴

解得；

于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是

其中，的整数值有或

当时，方程（1）为，无整数根；

当时，方程（1）为，有整数根。

解得： 

所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。

　　说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。

　　二、判别一元二次方程两根的符号。

　　例1：不解方程，判别方程两根的符号。 

　　分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定  或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定  或的正负情况。

解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0  

∴方程有两个不相等的实数根。

设方程的两个根为，  

∵＜0

∴原方程有两个异号的实数根。

说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。

　　三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。

　　例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 

　　分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。

　　解法一：把代入原方程，得：

　　即

　　解得

　　当时，原方程均可化为：

　　，

　　解得：

　　∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。

　　解法二：设方程的另一个根为，

根据题意，利用韦达定理得：

，

∵，∴把代入，可得：

∴把代入，可得：

，

即

解得

∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。 

说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。

　　例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 

分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。

　　解：∵方程有两个实数根，  
　　∴△

　　解这个不等式，得≤0  
　　设方程两根为  
　　则，

　　∵

　　∴

　　∴

　　整理得：

　　解得：

　　又∵，∴  

说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。

四、运用判别式及根与系数的关系解题。

　　例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，

　　解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，

∴则有

∴ 

又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得：

假设、同号，则有两种可能：

（1） （2）

若， 则有： ；

即有：

解这个不等式组，得

∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。

若 ，   则有：

即有：

解这个不等式组，得；

又∵，∴当时，两根能同号  

说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。

六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。

例：已知、是方程的两个实数根，求的值。

分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。 

　　解法一：由于是方程的实数根，所以

设，与相加，得：

）

（变形目的是构造和）

根据根与系数的关系，有：

，

于是，得：

∴=0

　　解法二：由于、是方程的实数根，

∴

∴

说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。

　　有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。

七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。

例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。

分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。

解：设两方程的相同根为，  根据根的意义，

有   

两式相减，得   

当时， ，方程的判别式

方程无实数解

当时， 有实数解 

代入原方程，得，

所以

于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为

说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：

当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；

（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：

且

另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。

【趁热打铁】

一、填空题：

1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。

2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。

3、已知关于的方程的两根为，且，则        。

4、已知是方程的两个根，那么： ；

 ； 。

5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则； 。

6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是            ，的值为            。

7、已知是的一根，则另一根为        ，的值为        。

8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：          。

二、求值题：

1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。

4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。

6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。

三、能力提升题：

1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？

2、已知关于的一元二次方程

（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。

（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。

3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。

4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。

5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。

6、实数、分别满足方程和，求代数式

的值。

答案与提示：

一、填空题：

1、提示：，，，∴，

∴，解得：

2、提示：，由韦达定理得：，，∴，

解得：，代入检验，有意义，∴。

3、提示：由于韦达定理得：，，∵，

∴，∴，解得：。

4、提示：由韦达定理得：，，

；；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则

；②设＜0，＞0，则。

5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。

6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。

7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，

∴，∴

8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，

∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：

二、求值题：

1、提示：由韦达定理得：，，∴  

2、提示：由韦达定理得：，，∴

3、提示：由韦达定理得：，，

∴

4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。

5、提示：由韦达定理得，，∵，∴，

∴，∴，化简得：；解得：

，；以下分两种情况：

①当时，，，组成方程组：  ；解这个方程组得：；

②当时，，，组成方程组：；

解这个方程组得：

6、提示：设和相同的根为，于是可得方程组：

；①②得：，解这个方程得：；

以下分两种情况：（1）当时，代入①得；（2）当时，代入①得。

所以和相同的根为，的值分别为，。

三、能力提升题：

1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式组：

解这个不等式组得：＞1

2、提示：（1）的判别式△

＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：

解这个关于的方程组，可得到：，，由于，所以可得，解这个方程，可得：，；

3、提示：可利用韦达定理得出①＞0，②＞0；于是得到不等式组：

求得不等式组的解，且兼顾；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根据，＞，得到，即：＝4

4、答案：存在。

提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得：，；于是可得方程组：

解这个方程组得：①当时，；②当时，；

所以的值有两个：；；

5、提示：由韦达定理得：，，则

，即，解得：

6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：

，，

∴，∴，∴，

又∵，变形得：，∴

，∴

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