高中数学《导数在研究函数中的应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题

语文	数学	英语	物理	化学
生物	史地	政治	道德与法治
美术	音乐	科学	全部课程

 ▼

人教高中数学必修第一册(B版)精讲+资料

人教高中数学必修第二册(B版)精讲+资料

人教高中数学必修第三册(B版)精讲+资料

人教版高中数学必修第四册(B版)精讲+资料

人教版高中数学必修选修学生用书电子版

 ▼

视频教学：

知识点：

基本方法：

1、函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y＝f（x） 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y＝f（x） 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y＝f（x）在这个区间内为减函数．

2、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f（x）的导数f′（x）. ②令f′（x）＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′（x）＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间．

3、极大值：一般地，设函数f（x）在点x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有的点，都有f（x）＜f（x₀），就说f（x₀）是函数f（x）的一个极大值，记作y_极大值＝f（x₀），x₀是极大值点．

4、极小值：一般地，设函数f（x）在x₀附近有定义，如果对x₀附近的所有的点，都有f（x）＞f（x₀）.就说f（x₀）是函数f（x）的一个极小值，记作y_极小值＝f（x₀），x₀是极小值点．

5、极大值与极小值统称为极值．（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

6、判别f（x₀）是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值．

7、求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f\\\'（x）．②求方程f\\\'（x）＝0的根．③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．

8、函数的最大值和最小值：在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．①在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．②函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的．③函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．④函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．

9、利用导数求函数的最值步骤：①求在内的极值；②将的各极值与、比较得出函数在上的最值．

例1、求下列函数的单调区间：

（1）   

（2）

（3）         

分析：求函数的单调区间的具体步骤是：①确定的定义域；②计算导数；③求出的根；④用的根将的定义域分成若干个区间，列表考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间．

解：（1）函数的定义域

令得，用分割定义域D，得下表：

		－2		1
	＋	0	－	0	＋
	↗		↘		↗

的单调增区间是和，单调减区间是（－2，1）．

（2）函数的定义域

令得，用分割定义域D，得下表：

		－1		0	（0，1）	1
	—	0	＋	0	—	0	＋
	↘		↗		↘		↗

的单调增区间是和，单调减区间是和（0，1）．

（3）函数的定义域为，，

令得．

其中不在定义域内，用分割定义域D，得下表：

x	（0，）		（，＋）
	_	0	＋
	↘		↗

的单调增区间是，单调减区间是．

例2、设f（x）＝x³－ax²－bx＋a²在x＝1处有极小值10，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间．

剖析：由已知x＝1处有极小值10，点（1， 10）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b．

解：（x）＝3x²－2ax－b，由题意知

当时，f’（x）＝3（x－1）²≥0，此时x＝1不是函数的极值点．

而时，

f’（x）＝（x－1）（3x＋11）＝3（x＋）（x－1）．

当（x）>0时，x>1或x<－，

当（x）<0时，－<x<1．

∴函数f（x）的单调增区间为（－∞，－）和（1，＋∞），减区间为（－，1）．

例3、已知函数f（x）＝ax³＋3x²－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围．

分析：在R上为减函数，则导函数在R上恒负．

解：（x）＝3ax²＋6x－1．

（1）当（x）<0时，f（x）为减函数．

3ax²＋6x－1<0（x∈R），a<0时，Δ＝36＋12a<0，∴a<－3．

∴a<－3时，（x）<0，f（x）在R上是减函数．

（2）当a＝－3时，f（x）＝－3（x－）³＋．

由y＝x³在R上的单调性知：a＝－3时，f（x）在R上是减函数，综上，a≤－3．

例4、若函数y＝x³－ax²＋（a－1）x＋1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，＋∞）内为增函数，试求实数a的取值范围．

分析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

解：（x）＝x²－ax＋a－1＝0得x＝1或x＝a－1，

当a－1≤1，即a≤2时，函数f（x）在（1，＋∞）上为增函数，不合题意．

当a－1>1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，＋∞）上为增函数．

依题意，当x∈（1，4）时，（x）<0，当x∈（6，＋∞）时，（x）>0，∴4≤a－1≤6．

∴5≤a≤7．∴a的取值范围为［5，7］．

例5、设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间．

解：由f（x）的解析式得，

若a>0，则  ， f（x） 单调，矛盾；

若a＝0，则 ，f（x）单调；

若a<0，则．

由此可知，当a<0时，f（x）恰有三个单调区间，其中减区间为：，，增区间为：．

例6、已知x>1，证明不等式x>ln（1＋x）．

分析：构造辅助函数f（x）＝x－ln（1＋x），只需证明f（x）在（1，）上递增即可．

证明：设 f（x）＝x－ln（1＋x），x>1，则

 在上是增函数 

又f（1）＝1－ln2>1－lne＝0      

即

教案：

课件：

练习：

图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删

点击阅读原文下载全册PPT课件动画教案习题整套资料