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知识点总结
第一单元 负数
1、负数的由来
为了表示相反意义的两个量（如盈利亏损、收入支出……），光有学过的0、1、3.4……是远远不够的，所以出现了负数。
2、正数和负数
小于0的数叫负数（不包括0），数轴上0左边的数叫做负数。
负数有无数个。
大于0的数叫正数（不包括0），数轴上0右边的数叫做正数。
正数有无数个。
3、正数和负数的写法
负数：在数字前面加“-”号，负号不可以省略。
正数：在数字前面加“+”号，正号可以省略不写。
4、0 既不是正数，也不是负数，它是正、负数的分界限
5、数轴：
第二单元 百分数（二）
1、折扣和成数
（1）折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。
几折就是十分之几，也就是百分之几十。
（2）成数：几成就是十分之几，也就是百分之几十
（3）打折问题
先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。
现价=原价×折扣
便宜的钱数=原价-原价×折扣=原价×（1-折扣）
（4）成数问题
先将成数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。
2、税率和利率
（1）税率应纳税额与各种收入的比率叫做税率。缴纳的税款叫做应纳税额。
（2）应纳税额的计算方法：
应纳税额=总收入×税率
收入额=应纳税额÷税率
（3）存入银行的钱叫做本金。取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
（4）利息的计算公式：
利息＝本金×利率×时间
利率＝利息÷时间÷本金×100％
（5）注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)
税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率)
3、购物策略
（1）估计费用：根据实际的问题，选择合理的估算策略，进行估算。
（2）根据实际需要，对常见的几种优惠策略加以分析和比较，并能够最终选择最为优惠的方案
第三单元 圆柱和圆锥
1、圆柱
（1）圆柱是由两个底面和一个侧面围成的。
它的底面是大小相同的两个圆，侧面是一个曲面。
圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的一边长等于圆柱的底面周长，另一边长等于圆柱的高。
（2）圆柱的高是两个底面之间的距离。
（3）圆柱的特征
圆柱的底面是完全相等的两个圆。
圆柱的侧面是一个曲面。
圆柱有无数条高
（4）圆柱的相关计算公式
底面积 ：S底=πr²
底面周长：C底=πd=2πr
侧面积 ：S侧=2πrh
表面积 ：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh
体积 ：V柱=πr²h
2、圆锥
（1）圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面。
（2）从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
（3）圆锥的特征
圆锥的底面一个圆。
圆锥的侧面是一个曲面。
圆锥只有一条高。
（4）圆锥的相关计算公式
底面积：S底=πr²
底面周长：C底=πd=2πr
体积：V锥=
第四单元 比例
1、比的意义
（1）两个数相除又叫做两个数的比
（2）“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
（3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
（4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
（5）比的后项不能是零。
（6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
2、比的基本性质
比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
3、求比值和化简比
（1）求比值的方法
用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
（2）化简比
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
4、按比例分配
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
5、比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
6、比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
7、比和比例的区别
（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。
（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。
8、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示x/y=k（一定）
9、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k（一定）
10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：
关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例。
11、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
12、比例尺的分类
（1）数值比例尺和线段比例尺
（2）缩小比例尺和放大比例尺
13、图上距离：
图上距离/实际距离=比例尺
实际距离×比例尺=图上距离
图上距离÷比例尺=实际距离
14、应用比例尺画图的步骤：
（1）写出图的名称、
（2）确定比例尺；
（3）根据比例尺求出图上距离；
（4）画图（画出单位长度）
（5）标出实际距离，写清地点名称
（6）标出比例尺
15、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。
第五单元 数学广角-鸽巢问题
1、鸽巢问题
（1）鸽巣原理
先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法, 如下表
放法 | 盒子1 | 盒子2 |
1 | 3 | 0 |
2 | 2 | 1 |
3 | 1 | 2 |
4 | 0 | 3 |
无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放了两个或两个以上的苹果”。 这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。
类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。
如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信。
我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式。
（2）利用公式进行解题
物体个数÷鸽巣个数=商……余数
至少个数=商+1
2、摸球问题
（1）要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。即物体数＝颜色数×（至少数－1）＋1。
（2）利用极端思想
用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。
（3）计算公式
两种颜色：2＋1＝3（个）
三种颜色：3＋1＝4（个）
四种颜色：4＋1＝5（个）
易错题解析
【易错题1】为了清楚地看出各年级人数应采用（ ）统计图，需要清楚地看出学校各年级的人数占全校总人数的百分比情况应采用（ ）统计图，记录一天气温变化情况采用（ ）统计图比较合适。
【错因分析】答案：扇形，折线，条形。
本题主要考察学生对三种常用统计图的理解情况。从回答情况看，学生没有理解三种统计图的特点和用途，不会根据实际情况灵活选择合适的统计图，因此导致出错。
【思路点拨】条形统计图的特点是用直条长短表示各个数量的多少；折线统计图的特点是能清楚地表示数量增减变化的情况；扇形统计图的特点是表示各部分与总数的百分比，以及部分与部分之间的关系。
【易错题2】要统计牛奶中各种营养成份所占的百分比情况，你会选用（ ）。
①条形统计图 ②折线统计图 ③扇形统计图 ④复式统计图
【错因分析】本题主要考察学生对扇形统计图的掌握情况。学生容易选择其他类型的统计图。
【思路点拨】应该选择③，扇形统计图能清楚地表示出部分与总体的百分比。
【易错题3】在一个花坛内种了三种花，种花的面积用扇形统计图统计如下，如果改用条形统计图来表示，各种花占地面积应该是（A）。
【错因分析】学生关注到了扇形统计图中玫瑰和百合表示的数量相等，月季的数量比玫瑰和百合多，但是没有根据扇形统计图的意义进行思考，从而没有形成三种花各占总数的百分之几的数学概念。
【思路点拨】理解“用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数量的百分之几”能够从扇形的大小中估计出部分数量占总数量的百分之几，还可以看出每一部分之间的关系。正确答案是D。
【易错题4】最近，某媒体发起了一项关于“背诵古诗文是否有用”的调查，下面是调查得到的统计图。
“背诵古诗文的作用”统计图
2017.2
（１）不好判断的一项占受访总人数的（）％。
（２）选择哪一项的人数最多？选择哪一项的人数最少？
【错因分析】学生在识图和计算的过程中，容易出错。
【思路点拨】（１）可以把整个圆看作单位“１”，已知的三个项目占总数的37.4％＋34.8％＋17.3％＝89.5％，则未知的一项所占的百分比为1－89.5％＝10.5％。（２）第二个问题，可以根据数据比较，也可以通过比较扇形面积的大小得出结论：“值得庆幸，受益终生”的人数最多，“不好判断”的人数最少。
【易错题5】 六（1）班数学期末测试情况如下：优秀17人，良好26人，及格5人。根据以上情况将统计图补充完整，并回答问题。
六（1）班数学期末测试情况统计图
1.六（1）班参加数学期末考试的有（ ）人。
2.（ ）等第的人数最多，（ ）等第的人数最少，两者相差（ ）人。
3.本次考试的及格率是（ ）%。
【错因分析】本题容易出错的是：考试的及格率是10.4%。错误的原因是把扇形统计图中的及格等第人数占总人数的百分比与及格率混为一谈。
【思路点拨】这是一道综合性较强的题目，考查了学生的读图能力和数据分析能力。及格率是及格人数占人数的百分比，六（1）班全部及格，及格率应为100%。
【易错题6】如图，请你把梯形绕A点顺时针旋转900，并画出来。
【问诊】图形旋转有三个关键要素：一是旋转的中心，即绕哪一个点旋转；二是旋转的方向，三是旋转的角度。本题有3种典型错例：
图1旋转的中心点、方向和角度都没有问题，但旋转时把梯形的上底和下底搞混淆，导致梯形“斜腰”的方向明显出现了错误。图2乍一看挺有道理，仔细观察会发现梯形没有绕着A点进行旋转，旋转的中心点发生了错误。图3“叠加”了图1和图2的错误，旋转中心点以及梯形的上底和下底在旋转时都出现了偏差。
【练习】把下图绕O点顺时针旋转90°，并画出来。
【易错题7】做一节底面直径为2分米、长3米的烟囱，至少需要多少平方分米铁皮？（得数保留整数）
【问诊】烟囱是“无盖”的。由于生活经验的缺乏，学生习惯于求标准圆柱体的表面积，易算成“有盖”的。因此，本题只要求该圆柱体的侧面积，不需要求圆柱体的表面积。另外，粗心的学生还会忽视本题中单位不一致的问题。烟囱的长是3米，而直径是用分米做单位，最后要求的面积也是用平方分米作单位的。因此，在解答此题时，要将烟囱的长度单位化成分米。最后的结果要保留整数，要保证铁皮够用，本题应当采用“进一法”保留近似数，部分学生会误用“四舍五入”保留近似数。数学上有很多这样的题目要结合生活的原型进行思考。
【练习】长方体火柴盒的长5厘米、宽3厘米、高1厘米。请你算出制作一个这样的火柴盒至少用硬纸多少平方厘米？（不算粘贴处）
【易错题8】在比例尺是
【问诊】不少学生会用7.5×4=30（平方厘米）求出这块长方形地的图上面积，再用图上面积30×2000=60000平方厘米=6平方米，求出实际的占地面积。这部分同学忽视了面积的变化规律，如果图上距离：实际距离=1：2000，那么图上面积：实际面积应为：12：20002，而不是1：2000。本题求出图上面积后，应用30×2000×2000=120000000平方厘米=12000平方米求出实际面积；或者也可以先求出实际的长和宽，再求出实际的占地面积。
【练习】在比例尺为1:2000的沙盘上，实际面积为800000平方米的生态公园，图上的面积是多少平方米？
【易错题9】用20千克黄豆可榨油
【问诊】此题围绕黄豆和油两个量展开，都运用除法计算，很多同学理不清“20÷
【练习】某品牌汽车加了30升92号汽油，共用了189.9元，行驶了500公里。平均每升汽油多少元？每升汽油可以行多少公里？每公里耗油多少升？
【易错题10】小明上山速度为1米/秒，下山速度为3米/秒，则小明上下山的平均速度是多少?
【问诊】受平均数定义的影响，少数学生误以为“平均速度=（上山的速度+下山的速度）÷2”，即 (1+3) =2(米/秒)。其实平均速度的定义为：总路程÷总时间。本题解法不唯一，由于全程未知，我们可以设上山全程为3米，则平均速度为：(3×2)÷(3÷1+3÷3)=1.5(米/秒)。
【练习】从山脚到山顶的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用了2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。
考试重点
1、常见分数、小数、百分数互化。
2、常见圆周率的倍数。
1×3.14=3.14 2×3.14=6.28
3×3.14=9.42 4×3.14=12.56
5×3.14=15.7 6×3.14=18.84
7×3.14=21.98 8×3.14=25.12
9×3.14=28.26 16×3.14=50.24
25×3.14=78.5 36×3.14=113.04
3、常见基本数量关系式。
（一）基本算式
被除数÷除数=商
被除数=商×除数
除数=被除数÷商
一个因数×另一个因数=积
一个因数=积÷另一个因数
另一个因数=积÷一个因数
一个加数+另一个加数=和
一个加数=和—另一个加数
另一个加数=和—个加数
（二）行程问题
路程=速度×时间
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
（三）购买东西
总价=单价×数量
单价=总价÷数量
数量=总价÷单价
（四）工程问题
工作量=工作效率×时间
工作效率=工作量÷时间
时间=工作量÷工作效率
（五）利息问题
利息=本金×利率×时间
利率=利息÷本金÷时间
时间=利息÷本金÷利率
4、常见单位换算
（一）面积单位
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1公顷=10000平方米
1平方千米=100公顷
1毫升=1立方厘米
（二）体积、容积单位
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1升=1000毫升
1升=1立方分米
5、常见公式。
（一）圆的周长、面积
周长 C=2πr 或 c=πd
面积 S=πr²
（二）圆柱、圆锥侧面积、表面积
（三）圆柱、圆锥体积
圆柱体积=底面积×高
圆锥体积=底面积×高×1/3
6、常见应用题类型。
（一）分数、百分数问题
（1）求一个数的几分之几、百分之几是多少。
（一个数×几分之几（百分之几））
（2）求一个数是另一个数的（几倍）几分之几、百分之几。
（ 一个数÷另一个数）
（3）求一个数比另一个数多（少）几分之几、百分之几。
（ （大—小）÷“比”字后面的 ）
（4）已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数。
（多少÷几分之几（百分之几））
（5）已知比一个数多几分之几（百分之几）是多少，求这个数
（多少÷（1+几分之几（百分之几）））
（6）已知比一个数少几分之几（百分之几）是多少，求这个数
（多少÷（1-几分之几（百分之几）））
（7）前面是分数、百分数、后面是比，先把比转化为分数、百分数再计算。
（8）单位“1” 已知用乘法，单位“1” 未知用除法或方程。
（9）单位“1”的判断：“的”字前面的，“是”、“相当于”、“占”、“比”字后面的。
（二）比例尺问题
比例尺= 图上距离/实际距离
图上距离=实际距离×比例尺
实际距离=图上距离÷比例尺
（三）鸡兔同笼、租车船、租住房问题
设大的为未知数x，根据等量关系列出方程求解
（四）圆柱、圆锥体积的应用
①圆柱变圆锥，求圆锥高或底面积
②不规则物体体积相关计算不规则物体浸入水中，水面上升，求其体积
（五）按比分配（求出总份数，再用总份数×各部分对应的分率）
（六）行程问题
①相遇问题（甲走的路程+乙走的路程=总路程，等量关系是甲乙所用时间相等）
②追击问题（快的走的路程—慢的走的路程=二者相差路程，等量关系是甲乙所用时间相等）
（七）工程问题
工作量=工作效率×时间
工作效率=工作量÷时间
时间=工作量÷工作效率
（八）利息问题
利息=本金×利率×时间
利率=利息÷本金÷时间
时间=利息÷本金÷利率
（九）溶液浓度问题
①溶液质量=溶质质量+容积质量
②溶液浓度=溶质质量/溶液质量
（十）合格率、发芽率、出勤率问题
合格率、发芽率、出勤率=合格数、发芽数、出勤数÷总数
7、常见基本性质
①等式的基本性质：
A.等式两边都加上或减去同一个数，结果还是等式；B. 等式两边都乘或除以同一个不为0的数，结果还是等式。
②分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以同一个不为0的数，分数值不变。
③比的基本性质：比的前项和后项都乘或除以同一个不为0的数，比值不变。
④比例的基本性质：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
8、比、分数、除法的关系：
比的前项相当于分数的分子、除法的被除数，比的后项相当于分数的分母、除法的除数，比值相当于分数值、商。
9、简便运算的类型：
①加法结合律：分母相同的先相加减，和差为整数的先相加减。
②乘法结合律：能约分的先相乘，积为整数的先相乘。
③乘法分配律：能约分的或积为整数的先用括号外的数乘括号内的每一个数；有相同因数的，先把相同因数提出括号外，剩下的因数用括号括起来，再相加减。
④添括号、去括号法则：减去一个数，再减去另一个数，等于减去这两数的和。
10、解决问题的关键、方法、步骤、策略
①方程：找出已知量、未知量和等量关系，可以画线段图找等量关系。
步骤：一审、二找、三设、四列、五解、六验、七答。
②计算类：列表法、假设法、画图法、类比法、列举法、转化法、化归法、排除法等。
答题策略：
1、考前准备好考试用品（笔、橡皮、直尺等），调整好心态，不紧张，不着急；
2、态度端正，认真审题，认真对待每一道题；
3、不早交卷，做完认真检查，不可大意，不要留空白，尤其是选择、判断、填空等题；
4、一般先做会的、简单的、分值大的，后做难得、不会的；
5、书写认真、规范，步骤齐全，有条理，有层次，字迹工整，卷面整洁。
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