高中数学《6.3 探究A对y=Asin(ωx φ)的图象的影响》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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【教学目标】
1．知道A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.
2．知道y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sinx之间的关系.
【教学重难点】
函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合性质.
【教学过程】
一、基础铺垫（含复习）
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中参数A．φ、ω的作用
参数 | 作用 |
A | A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. |
φ | φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. |
ω | ω决定了函数的周期T＝2πω. |
2．图像的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx(A＞0，A≠1)的图像，只要将函数y＝sinx的图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到．
（2）平移变换
要得到函数y＝sin(x＋φ)的图像，只要将函数y＝sinx的图像上所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx(x∈R)(其中ω＞0且ω≠1)的图像，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)即可得到．
二、合作探究
1．五点作图法
【例1】用五点法作函数y＝3sinas4alco1((1π4)的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．
【解】
描点：在直角坐标系中描出点as4alco1((π2)，0)，as4alco1((3π2)，3)，as4alco1((5π2)，0)，as4alco1((7π2)，－3)，as4alco1((9π2)，0).
连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．
这样就得到了函数y＝3sinas4alco1((1π4)在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sinas4alco1((1π4)的图像．
此函数振幅为3，周期为4π，频率为14π，初相为-π4.
【方法总结】
五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：
（1）让ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想．
（2）取ωx0＋φ＝0，得x0＝－φω，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的14，就可得到其余四个点的横坐标．
2．三角函数图像变换
【例2】写出由y＝sinx的图像变化到y＝3sinas4alco1((1π4)的图像的不同方法步骤．
【解】
解法一：先平移再伸缩，过程如下：
①把y＝sinx的图像上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y＝sinas4alco1(x－(π4))的图像；
②把y＝sinas4alco1(x－(π4))的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sinas4alco1((1π4)的图像；
③将y＝sinas4alco1((1π4)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sinas4alco1((1π4)的图像．
解法二：先伸缩再平移，过程如下：
①把y＝sinx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x的图像；
②把y＝sin12x的图像向右平移π2个单位长度，得到y＝sin12as4alco1(x－(π2))＝sinas4alco1((1π4)的图像；
③把y＝sinas4alco1((1π4)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sinas4alco1((1π4)的图像．
【方法总结】
（1）由y＝sinx的图像，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，其变化有两种途径：
①y＝sinx――→相位变换 y＝sin(x＋φ)――→周期变换 y＝sin(ωx＋φ)――→振幅变换 y＝Asin(ωx＋φ)．
②y＝sinx――→周期变换 y＝sinωx――→相位变换 y＝sin(ωx＋φ)――→振幅变换 y＝Asin(ωx＋φ)．
两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：
①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位；
②是先周期变换后相位变换，平移(φω))个单位，这是非常容易出错的地方，应特别注意．
（2）应注意区分哪个为原函数图像，哪个为变换后函数图像．
3.求函数的解析式
【例3】如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像，由图中条件，写出该函数的解析式．
【解】
解法一：(最值点法)由图像可得ω＝23，A＝2，将最高点坐标as4alco1((π4)，2)代入y＝2sinas4alco1((23)x＋φ)，
得2sinas4alco1((π6)＋φ)＝2.所以π6＋φ＝2kπ＋π2.
所以φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．
又因为|φ|＜π，所以φ＝π3，
所以此函数的解析式为y＝2sinas4alco1((2π3).
解法二：(起始点法)由图像求得ω＝23，x0＝－π2，
φ＝－ωx0＝－23×as4alco1(－(π2))＝π3.
又因为A＝2，所以此函数的解析式为y＝2sinas4alco1((2π3).
【方法总结】
从图像可确定振幅和周期，即可确定A和ω，再取五点中的数据代入ωx＋φ＝0as4alco1(或(π3π2)，2π中，求得φ，从而确定函数解析式．
三、课堂检测
1．函数y＝2sinas4alco1((1π4)的周期、振幅、初相分别是( )
A.π4，2，π4 B．4π，－2，－π4
C．4π，2，π4 D．2π，2，π4
解析：由y＝2sinas4alco1((1π4)知，周期T＝2π12＝4π，振幅A＝2，初相φ0＝π4.
2．将函数y＝sinas4alco1(2x＋(π4))的图像向右平移π8个单位，所得图像对应的函数是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：由题意得y＝sin2lc(
cπ4)＝sin2x，是奇函数．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)as4alco1(A＞0，ω＞0，(3π2)＜φ＜2π)的最小值是－3，周期为π3，且它的图像经过点as4alco1(0，－(32))，则这个函数的解析式是________．
解析：由已知得A＝3，T＝π3＝2πω，故ω＝6.
∴y＝3sin(6x＋φ)．
把as4alco1(0，－(32))代入，得3sinφ＝－32，sinφ＝－12.
又32π＜φ＜2π，∴φ＝11π6.
∴y＝3sinas4alco1(6x＋(11π6)).
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图像如图所示，求该函数的解析式．
解：由函数图像易知T4＝π6，∴2πω＝2π3.∴ω＝3.
∴y＝Asin(3x＋φ)＝Asin3lc(
c)(as4alco1(x＋(φ3)))).
其图像可由y＝Asin3x的图像向左平移π12个单位得到，
∴φ3＝π12.∴φ＝π4.∴y＝Asinas4alco1(3x＋(π4)).
又∵f(0)＝Asinπ4＝2，∴A＝2.∴y＝2sinas4alco1(3x＋(π4)).
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