高中数学《7.1正切函数的定义》微课精讲+知识点+教案课件+习题

班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

(1)任意角的正切函数：

如果角α满足α∈R，α≠π2＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，唯一确定比值ba，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tan α，其中α∈R，α≠π2＋kπ，k∈Z.

(2)正切函数与正弦、余弦函数的关系：

根据定义知tan α＝sin αcos α(α∈R，α≠kπ＋π2，k∈Z)．

(3)正切值在各象限的符号：

根据定义知，当角在第一和第三象限时，其正切函数值为正；当角在第二和第四象限时，其正切函数值为负．

(4)正切线：

在单位圆中令A(1,0)，过A作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T，称线段AT为角α的正切线．

(1)y＝tan x，x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z的图像(正切曲线)：

(2)正切曲线的特征：

正切曲线是由被相互平行的直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．

视频教学：

练习：

【例1】　已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α、tan α的值．

解　r＝－4a2＋3a2＝5|a|，

若a＞0，则r＝5a，角α在第二象限，sin α＝yr＝3a5a＝35，

cos α＝xr＝－4a5a＝－45.tan α＝yx＝3a－4a＝－34；

若a＜0，则r＝－5a，

角α在第四象限，sin α＝－35，

cos α＝45，tan α＝－34.

规律方法　已知角α终边上任一点的坐标(m，n)利用定义求tan α时，其值与该点的位置无关且tan α＝nm.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：

α	0	π6	π4	π3	2π3	3π4	5π6
tan α	0	3)3	1	3	－3	－1	－3)3

【训练1】　若tan α＝12，利用三角函数的定义，求sin α和cos α.

解　∵tan α＝12＞0，∴角α是第一或第三象限角．

①若角α是第一象限角，则由tan α＝12，角α的终边上必有一点P(2,1)，

∴r＝|OP|＝22＋12＝5.

∴sin α＝yr＝1
(5)＝5)5，cos α＝xr＝2
(5)＝5)5.

②若角α是第三象限角，则由tan α＝12知，角α的终边上必有一点P(－2，－1)，

∴r＝|OP|＝－22＋－12＝5.

∴sin α＝yr＝－1
(5)＝－5)5，cos α＝xr＝－2
(5)＝－5)5.

题型二　正切函数的图像及应用

【例2】　利用正切函数的图像作出y＝|tan x|的图像并写出使y＝3的x的集合．

解　∵当x∈as4alco1(kπ－(π2)，kπ)时，y＝tan x≤0，

当x∈as4alco1(kπ，kπ＋(π2))时，y＝tan x＞0，

∴y＝|tan x|＝－tan x，x∈lc(
c](as4alco1(kπ－(π2)，kπ)
c)))，k∈Z.

如图所示．

使y＝3的x的集合为xlc|
c (as4alco1(x＝kπ±(π3)，k∈Z))).

规律方法　1.作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是as4alco1(－(π4)，－1)，(0,0)，as4alco1((π4)，1)，两线是直线x＝±π2为渐近线．

2．如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要作出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．

【训练2】　(1)函数y＝11＋tan x的定义域为________．

解析　要使该函数有意义，则有1＋tan x≠0，π2)k∈Z，

即x≠kπ－π4且x≠kπ＋π2.

答案　xlc|
c (as4alco1(x≠kπ－(ππ2)，k∈Z))

(2)根据正切函数的图像，写出tan x≥－1的解集．

解　作出y＝tan x及y＝－1的图像，如下图．

∴满足此不等式的x的集合为

xlc|
c (as4alco1(－(ππ2)＋kπ，k∈Z)).

课件：

教案：

【教学目标】

1．掌握正切函数的定义.

2．会求特殊角的正切值.

【教学重难点】

正切函数的定义域.

【教学过程】

一、基础铺垫

1．正切函数的定义

（1）任意角的正切函数

根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tanx，其中x∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z.

（2）正切函数与正弦、余弦函数的关系

根据定义知tanx=，x∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z.

（3）正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们统称它们为三角函数．

二、合作探究

【例1】已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．

【解】r＝ －4a2＋3a2＝5|a|，

若a＞0，则r＝5a，

角α在第二象限，sinα＝yr＝3a5a＝35，

cosα＝xr＝－4a5a＝－45.tanα＝yx＝3a－4a＝－34；

若a＜0，则r＝－5a，角α在第四象限，sinα＝－35，

cosα＝45，tanα＝－34.

【教师小结】已知角α终边上任一点的坐标(x，y)利用定义求tanα时，其值与该点的位置无关且tanα＝y/x.但要注意判断角α所在象限．利用定义可求下列特殊角的正切：

α	0	π6	π4	π3	2π3	3π4	5π6
tanα	0	3)3	1	3	－3	－1	－3)3

【活学巧用】已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )

A．2π3 B．11π6

C．5π6 D．3π4

解析：点(3，－1)在第四象限，tanα＝－3)3，∴α的最小正值为11π6.

【例2】求函数y＝11＋tanx的定义域．

【错解】∵1＋tanx≠0，即tanx≠－1．

∴x≠kπ－π4，k∈Z.

即y＝11＋tanx的定义域为xlc|
c}(as4alco1(x≠kπ－(π4)，k∈Z))).

【错因分析】错解忽略了y＝tanx本身的定义域．

【正解】由题意得1＋tanx≠0，π2)，k∈Z，

故函数的定义域为xlc|
c}(as4alco1(x≠kπ＋(ππ4)，k∈Z)).

二、课堂练习

1．tan 300°的值为( )

A．3 B．－3

C．3)3 D．－3)3

解析： tan 300°＝tan(180°＋120°)＝tan 120°

＝tan(180°－60°)＝－tan 60°＝－3；或tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3.

2．在平面坐标系中，︵，︵，︵，︵是圆x²＋y²＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tanα<cos< span="">α<sin< span="">α，则P所在的圆弧是( )</sin<></cos<>

A．︵ B．︵ C．︵ D．︵

解析：逐个分析A．B．C．D四个选项，利用三角函数的定义可得正确结论．

当点P在︵上时，cosα＝x，sinα＝y，∴cosα>sinα，故A选项错误；当点P在︵上时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，∴tanα>sinα>cosα，故B选项错误；当点P在︵上时，cosα＝x，sinα＝y，tanα＝yx，∴sinα>cosα>tanα，故C选项正确；当点P在︵上且︵在第三象限时，tanα>0，sinα<0，cos< span="">α<0，故d选项错误．综上，故选c．< span="">