高中数学《1.2向量的基本关系》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即 = ||||cos，并规定与任何向量的数量积为0

2．平面向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影||cos的乘积.

3．两个向量的数量积的性质  设、为两个非零向量，是与同向的单位向量

1 =  =||cos；    2   = 0

3当与同向时， = ||||；当与反向时， = ||||,特别地 = ||²

4cos = ；          5|| ≤ ||||

4.平面向量数量积的运算律

① 交换律：   =       ② 数乘结合律：() =() = ()

③ 分配律：( + ) =  + 

5.平面向量数量积的坐标表示

①已知两个向量，,则.

②设，则.

③平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为

、，那么.

④向量垂直的判定 两个非零向量，，则 .

⑤两向量夹角的余弦 cos =  （）.

视频教学：

练习：

课件：

教案：

【教学目标】

1．掌握共线向量、相等向量、向量夹角的概念．

2．正确区分向量平行与直线平行．

【教学重难点】

共线向量、相等向量、向量夹角的概念．

【教学过程】

一、基础铺垫

向量的有关概念：

名称	定义	表示方法
相等向量	长度相等且方向相同的向量	若a等于b，记作a＝b
向量平行 或共线	表示两个向量的有向线段所在的直线重合或平行	a与b平行或共线，记作a∥b． 规定：零向量与任一向量共线
向量的夹角	称为向量a与b的夹角	a与b垂直，记作a⊥b． 规定：零向量可与任一向量垂直

二、合作探究

1．相等向量与共线向量

[探究问题]

（1）如果两个非零向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？

[提示]  方向相同或相反．

（2）表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系？

[提示]  表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合．

（3）如果非零向量→与→是共线向量，那么点A，B，C，D是否一定共线？

[提示]  不一定共线．

（4）与向量a共线的单位向量有几个？

[提示]  当a≠0时，有两个；当a＝0时，有无数个．

【例1】  如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且→＝a，→＝b，→＝c．

（1）与a的模相等的向量有多少个？

（2）与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？

（3）与a共线的向量有哪些？

[思路探究]  由题目可获得以下主要信息：

①六边形ABCDEF是正六边形；

②→＝a，→＝b，→＝c；

③求各相应向量．

解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断，从而解决相应问题．

[解]  （1）与a的模相等的向量有23个．

（2）与a的长度相等且方向相反的向量有→，→，→，→.

（3）与a共线的向量有→，→，→，→，→，→，→，→，→.

（1）本例中→＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量．

[解]  与a相等的向量有→，→，→；与b相等的向量有→，→，→；与c相等的向量有→，→，→.

（2）本例条件不变，与→共线的向量有哪些？

[解]  与→共线的向量有→，→，→，→，→，→，→，→，→.

【规律探究】

（1）向量共线有三种情形：

①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量．

（2）向量的平行与直线平行的关系

两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在直线不一定平行，也可能重合．若直线m，n，l，m∥n，n∥l，则m∥l；若向量a，b，c，a∥b，b∥c，而a，c不一定平行．

2．向量的夹角

【例2】如图，等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角.

[解]

（1）与的夹角是∠EDF=60°；

（2）因为，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA=120°；

（3）延长FD至B\\\\\\\\\\\\'，使DB\\\\\\\\\\\\'=FD，则∠EDB\\\\\\\\\\\\'=120°.

三、课堂总结

1．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义．

2．向量垂直也就是向量夹角为90°，按照规定，零向量既可以和任意向量平行，也可以和任意向量垂直.

四、课堂检测

1．把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点，则终点构成的图形是________；若这些向量是单位向量，则终点构成的图形是________．

一条直线  两个点  [因为向量平行，且表示它们的有向线段有共同的起点，所以终点在一条直线上；而对于单位向量，其大小都是一个单位，所以它们的终点在起点的两侧，且距起点一个单位，所以终点构成的图形是两个点．]

2．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．

（1）写出与→、→相等的向量；

（2）写出与→模相等的向量．

[解]  （1）→＝→＝→，→＝→.

（2）→，→，→.

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