高中数学《§ 1 建筑物高度的测量》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

1.发现问题、提升问题

在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图1所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.

图1

假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由.

2.分析问题、建立模型

图1中角楼的高度问题可以转化为用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？即利用正、余弦定理解三角形问题.

3.确定参数、计算求解

如图2所示，设线段AB表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量.用测量角度的仪器可以测量出∠ACB的大小α，但是因为点A，B都不便到达，所以△ABC的3条边都无法用米尺测量.

如图3所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量.用测量角度的仪器测出

∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ.

然后，利用α，β，γ，θ，φ以及m即可求出AB的长.首先，在△BCD中，因为∠CBD＝π－β－γ，所以由正弦定理可得msin（π－β－γ）＝BCsin γ，因此BC＝msin γsin（β＋γ）；同理，从△ACD可得AC＝msin φsin（θ＋φ）；最后，在△ABC中，根据AC，BC，α，利用余弦定理就可以得出AB的长.[来源:学_科_网]

4.验证结果、改进模型

以上给出一个测量小组的测量结果，与其他测量小组的比较，分析产生误差的原因，改进测量方法，使测量误差更小.

视频教学：

练习：

1.如图所示，直升飞机航行至跨河大桥AB的斜上方P点处，此时飞机离地面的高度 P0=2500米，且A、 B、0三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30º，β=45º．

（1）求大桥AB的长；

（2）若该飞机降低飞行高度并且保持原航向继续前行至大桥的一端B的正上方C处，此时在C处测得大桥另一端A的俯角为15º.问：该飞机飞行高度下降了多少米？

(结果保留根号，参考数据：，，)

2. 如图所示，某油轮由南向北以每小时10海里的速度航行，在A处观测到灯塔B在它的北偏东75º方向，距离为12海里；同时观测到灯塔C在它的北偏西30º方向，距离为8海里.油轮继续由A向正北航行到D处，在D处观测到灯塔B在它的南偏东60º方向．

求：(1) 油轮由A到D所用的时间；

（2）试确定灯塔C在D点的什么方向.

北

A 东

3.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼(如图)，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32º时，

4.如图，点A坐标为(x₁，-2)，点B的坐标为(x₂，-4)，且△AOB的面积为12，若∠AOC=α，求sinα·cosα的值．

5.如图所示，一船在海面C处望见一灯塔A，在它的正北方向2海里处，另一灯塔B在它的北偏西60º的方向，这条船向正西方向航行，若A、B两灯塔的距离为2海里，问在这条船的航线上是否存在一点D，使两个灯塔A、B同时分别在该点的东北、西北方向上．

课件：

教案：

一、课题背景、意义及介绍
1、背景说明（怎么会想到本课题的）：如何测量旗杆的高度，我们知道可以利用数学解决一些实际问题。现在我们学了三角函数后，当然也要学以致用。所以我们这次是用“三角函数”的知识来测量以学校操场为水平面的其它物体的高度。 2、课题的意义（为什么要进行本课题的研究）：农村中学生的在研究性学习方面相对欠缺，学习了解直角三角形内容之后，为了进一步提高学生对知识的运用，能应用解直角三角形解决一类观测实际问题，对学校的旗杆、建筑物、背后山的高度进行测量，进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系。 3、课题介绍活动的内容有三条，活动一：测量倾斜角；活动二：测量底部可以到达的物体的高度；活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.先在课堂上讨论、设计方案，然后进行室外的实际测量，活动结束时，应要求学生写出活动报告.重点是让学生经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.综合运用直角三角形的边角关系的知识.解决实际问题，培养学生不怕困难的品质，发展学生的合作意识和科学精神.
二、研究性学习的教学目的和方法（可按新课程标准的三维目标（或布鲁姆目标分类法）进行研究性学习的教学目和方法的阐述）
（一）知识与技能 1、经历活动设计方案。 2、经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程。 3、能利用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题。（二）过程与要求 1.经历活动设计方案，自制仪器. 2.能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由. 3.回顾、整理已学过的测高方法以及相关知识.综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题. 4.经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程. 5.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果. 6.能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题. 7.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题，提高解决问题的能力. 8.体会数形之间的联系，逐步学会利用数形结合的思想分析、解决问题. （三）情感与价值观 1.积极参与数学活动过程，并能在活动过程中积极想办法. 2.培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.
三、参与者特征分析（重点分析学生有哪些共性、有哪些差异，尤其对开展研究性学习有影响的因素。）
1、学生是九年级学生，农村初中生。 2、数学基础一般，中下层学生比较多。 3、乐于表达自己，渴望达到同学和教师的赞许。 4、对参加实践活动有着浓厚的兴趣。
四、研究的目标与内容（课题研究所要解决的主要问题是什么，通过哪些内容的研究来达成这一目标）
课题研究所要解决的主要问题： 1、测量倾斜角； 2、测量底部可以到达的物体的高度； 3、测量底部不可以到达的物体的高度. 通过以下内容的研究来达成这一目标：通过以下内容的研究来达成这一目标： 1、先在课堂上讨论、设计方案， 2、进行室外的实际测量，活动结束时，应要求学生写出活动报告.重点是让学生经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.
五、研究的预期成果及其表现形式（研究的最终成果以什么样的形式展现出来，是论文、实验报告、实物、网站、多媒体还是其他形式）
活动结束后，应要求学生整理活动过程，并撰写活动报告，活动报告可因组而异.
六、资源准备
根据主题教师提供的资源：教师提供自制测倾器测角仪、皮尺等测量工具. 学生各小组自制测角仪
七、研究性学习的阶段设计
研究性学习的阶段	学生活动	教师活动	起止时间
第一阶段：动员和培训（初步认识研究性学习、理解研究性学习的研究方法）	先在课堂上讨论、设计方案。	结合教材内容讲解。	1课时
第二阶段课题准备阶段	提出和选择课题	1．小组提出测量的对象和方案 2．实地测量物体的高度 3、测量底部可以到达的物体的高度. 4、测量底部不可以到达的物体的高度.	1 组织学生讨论。	1课时
成立课题组	1．各小组成立后，选定组长，学习讨论小组合作学习评价量规。 2．进行小组分工，小组内分工可以为收集资料小队、计算小队、校对等。	1在学生自愿成组的前提下，合理调配各组成员，以利于能力较弱的学生也可以安排到工作。 2制订合作学习规则（或者合作学习评价量规）提供给学生。 3组织、指导学生的小组讨论、小组成员分工。
形成小组实施方案	分析活动结果，撰写活动报告	1设计“研究方案”模版，为学生制订研究方案提供指引。 2设计“调查记录表”为学生调查记录提供指引。 3设计成果展示模版，为学生展示研究结果提供指引。
第三阶段：课题实施阶段	一.每组提出测量的对象及方案 1.学生分组开展小组讨论、交流，初步确定测量对象和方案，并在全班发言，其他学生帮助完善. 二.户外活动——测量物体的高度 1、学生按小组自觉测量，获得相关的数据，并进行初步的计算过程，可以用计算器辅助. 2学生讨论得出实验活动过程中测角和距离的方法.并特别注重测量的精确度，在活动中.还应注意相互协作、合理安排，让活动能有序、高效率地进行. 三、1.填写活动报告表. 2.反思实验过程，在全班交流各组的实验活动感受. 3.根据活动报告表，汇报各组实验活动的结果.	一、引导学生展示自己设计的方案.并帮助完善. 提示要注意的实验的细节： (1)注意实验时的安全. (2)在测量的过程中.要产生测量误差，因此，需多测两组数据.并取它们的平均值较妥. (3)正确地使用测倾器，特别要注意测量过程中正确、规范地读数. (4)积极参与测量活动.并能对在测量过程中遇到的困难，想方没法，团结协作，共同解决. 二、指导个别活动能力差的小组.	1课时
八、总结与反思（实践后总结、反思整个研究性学习过程，提出改进意见）
一、分析活动结果，深入思考活动结果。二、收获： ①如何将实际问题转化为数学问题；②如何获得解决问题所需要的数据；③在活动中学会团队合作；④联系实际，学会反思，总结教训。以上这些，对培养学生的综合素质，无疑具有重要的现实意义。三、吸取经验： ①事先两组一定要约定对象的顶端的观测点； ②最好在有太阳光的时候，选择的物体的投影要比较“平直”，人站在物体影子上的某点去测仰角，比较容易做到“三点共线”； ③选择无风的天气做实验或制作测倾仪时，加大悬垂物的重量，尽量减少会干扰实验结果的因素。另外值得注意的是相对于高大的楼房，测倾仪的高度可忽略，但在测学校柱子的高度时，忽略测倾仪的高度则不妥。四、知识积累：到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法? (1)利用太阳光下的影子测旗杆的高度；（三角形相似的判定条件和性质） (2)利用标杆测旗杆的高度；（三角形相似的判定条件和性质） (3)利用镜子的反射测旗杆的高度；（三角形相似的判定条件和性质）（4）利用直角三角形的边角关系测量物体的高度.