高中数学《2.4积化和差与和差化积公式》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
积化和差
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
和差化积
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
视频教学：
练习：
1．cos 15° sin 105°＝( )
A．3)4＋12 B．3)4－12
C．3)2＋1 D．3)2－1
2．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为( )
A．0 B．3)2
C．12 D．1
3．函数f(x)＝2sinx2sinas4alco1(α－(x2))的最大值等于( )
A．2sin2α2 B．－2sin2α2
C．2cos2α2 D．－2cos2α2
4．若cos xcos y＋sin xsin y＝12，sin 2x＋sin 2y＝23，则sin(x＋y)＝( )
A．23 B．－23
C．13 D．－13
5．函数y＝sinas4alco1(x－(π6))cos x的最大值为( )
A．12 B．14
C．1 D．2)2
课件：
教案：
【教学目标】
1．能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．
2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
【教学重难点】
三角函数的积化和差与和差化积公式
【教学过程】
一、问题导入
两个三角函数的和、差、积是怎么进行运算的？可以用之前学过的公式进行推导吗？
二、合作探究
1．积化和差问题
【例1】（1）求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
（2）求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
[思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．
[解] （1）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝12(sin 90°－sin 50°)－12(cos 60°－cos 40°)
＝14－12sin 50°＋12cos 40°
＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14.
（2）原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
＝3)2cos 10°cos 50°cos 70°
＝3)2cos 60°＋cos 40°·cos 70°))
＝3)8cos 70°＋3)4cos 40°cos 70°
＝3)8cos 70°＋3)8(cos 110°＋cos 30°)
＝3)8cos 70°＋3)8cos 110°＋316＝316.
【教师小结】积化和差公式的功能与关键
1功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式.
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.
2关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.
2．和差化积问题
【例2】已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β)的值．
[思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．
[解] ∵cos α－cos β＝12，
∴－2sinα＋β2sinα－β2＝12. ①
又∵sin α－sin β＝－13，
∴2cosα＋β2sinα－β2＝－13. ②
∵sinα－β2≠0，
∴由①②，得－tanα＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32.
∴sin(α＋β)＝α＋βα＋β2α＋βα＋β2
＝α＋β2α＋β2＝3294＝1213.
1．(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值．
[解] 因为cos α－cos β＝12，
所以－2sin α＋β2sin α－β2＝12. ①
又因为sin α－sin β＝－13，
所以2cos α＋β2sin α－β2＝－13. ②
因为sin α－β2≠0，
所以由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝32.
所以cos (α＋β)＝α＋βα＋β2α＋βα＋β2
＝α＋β2α＋β2＝22
c))
c))＝－513.
2．(变条件)将本例中的条件“cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13”变为“cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝－13”，结果如何？
[解] 因为cos α＋cos β＝12，
所以2cos α＋β2cos α－β2＝12. ①
又因为sin α＋sin β＝－13，
所以2sin α＋β2cos α－β2＝－13. ②
所以cos α－β2≠0，所以由①②，得tan α＋β2＝－23，
所以sin (α＋β)＝α＋βα＋β2α＋βα＋β2＝α＋β2α＋β2＝2
c))
c))＝－1213.
【教师小结】和差化积公式应用时的注意事项：
1在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.
2根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.
3为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如12－cos α＝cosπ3－cos α.
3．公式的综合应用
[探究问题]
（1）解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？
[提示] 注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．
（2）在△ABC中有哪些重要的三角关系？
[提示] 在△ABC中的三角关系：
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，
sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2，
sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C．
【例3】在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C
＝4sinA2sinB2cosC2.
[思路探究] 利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.
[解] 左边＝sin(B＋C)＋2sinB－C2·cosB＋C2
＝2sinB＋C2cosB＋C2＋2sinB－C2cosB＋C2
＝2cosB＋C2as4alco1(sin(B＋CB－C2)
＝4sinA2sinB2cosC2＝右边，∴原等式成立．
【教师小结】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.
三、课堂总结
1．公式的记忆
和差化积公式记忆口诀：
“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”
(正代表sin α，余代表cos α)
2．公式的应用
注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导．
四、课堂检测
1．sin 75°－sin 15°的值为( )
A．12 B．2)2
C．3)2 D．－12
B [sin 75°－sin 15＝2cos75°＋15°2sin75°－15°2＝2×2)2×12＝2)2.故选B．]
2．函数y＝sinas4alco1(x－(π6))cos x的最大值为( )
A．12 B．14
C．1 D．2)2
B [∵y＝sinas4alco1(x－(π6))cos x＝12sinlc(
c
c)－x))
＝12sinlc(
c
)＝12sinas4alco1(2x－(π6))－14.
∴函数y的取最大值为14.]
3．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则sin αcos β＝________.
1330 [sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330.]
4．化简下列各式：
（1）120°＋B＋cos120°－B,sin B＋sin120°＋A－sin120°－A)；
（2）sin A＋2sin 3A＋sin 5Asin 3A＋2sin 5A＋sin 7A.
[解] （1）原式＝cos A＋2cos 120°cos Bsin B＋2cos 120°sin A
＝cos A－cos Bsin B－sin A＝A＋BB－A2A＋BB－A2＝tan A＋B2.
（2）原式＝sin A＋sin 5A＋2sin 3A,sin 3A＋sin 7A＋2sin 5A)
＝2sin 3Acos 2A＋2sin 3A2sin 5Acos 2A＋2sin 5A
＝cos 2A＋1,2sin 5Acos 2A＋1)＝sin 3Asin 5A.
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