高中数学《1.2简单多面体一棱柱、棱锥和棱台》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
（1）柱
棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：
棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。
棱柱与圆柱统称为柱体；
视频教学：
练习：
【例1】 已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积．
[思路探究] 根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解．
[解] 如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE.
∵OE＝42＝2，∠OPE＝30°，
∴PE＝OEsin 30°＝212＝4.
∴S正四棱锥侧＝12ch′＝12×(4×4)×4＝32，
S表面积＝42＋32＝48.
即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.
【例2】 一个直角梯形的两底长为2和5，高为4，将其绕较长的底旋转一周，求所得旋转体的表面积．
[思路探究] 直角梯形――――――――――→以其中较长底边为旋转轴圆柱、圆锥组合体)
→利用公式求表面积
[解] 如图所示，梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.
作DM⊥BC，垂足为点M，则DM＝4，MC＝5－2＝3，
在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝32＋42＝5.
在旋转生成的旋转体中，AB形成一个圆面，AD形成一个圆柱的侧面，CD形成一个圆锥的侧面，设其面积分别为S1，S2，S3，则S1＝π×42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，S3＝π×4×5＝20π，
故此旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝52π.
【例3】 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
[思路探究] 本题是求三个球的表面积之比，解题的关键是得出半径之比，可在各几何体内做出截面，找到球心，易求半径．
[解] 设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r1＝a，r1＝a2，所以S1＝4πr21＝πa2.
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②，2r2＝2a，r2＝2)2a，所以S2＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，
所以有2r3＝3a，r3＝3)2a，所以S3＝4πr23＝3πa2.
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和． ( )
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． ( )
(3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)正确．多面体的表面积等于侧面积与底面积之和．
(2)错误．棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形．
(3)错误．由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不是全等形．但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的．
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )
A.1＋2π2π B.1＋4π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.]
3．火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍．
8 [设火星半径为r，则地球半径为2r，
V地V火＝4343＝8.]
4．已知正四棱台上底面边长为4 cm，侧棱和下底面边长都是8 cm，求它的侧面积．
[解]
法一：在Rt△B1FB中，
B1F＝h′，
BF＝12(8－4)＝2(cm)，
B1B＝8(cm)，
∴B1F＝82－22＝215(cm)，
∴h′＝B1F＝215(cm)，
∴S正棱台侧＝12×4×(4＋8)×215＝4815(cm2)．
法二：延长正四棱台的侧棱交于点P，如图，设PB1＝x(cm)，
则xx＋8＝48，得x＝8(cm)，
∴PB1＝B1B＝8(cm)，
∴E1为PE的中点，
∴PE1＝82－22＝215(cm)，
PE＝2PE1＝415(cm)，
∴S正棱台侧＝S大正棱锥侧－S小正棱锥侧
＝4×12×8×PE－4×12×4×PE1
＝4×12×8×415－4×12×4×215
＝4815(cm2)．
课件：
教案：
教材分析
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小、位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间，学习立体几何对我们更好地认识客观世界，更好地生存与发展具有重要意义。在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体观察入手、认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。本节内容既是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续和提高，也是后续研究空间点、线、面位置关系的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
教学目标与核心素养
课程目标
1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型．
3．与平面几何体的有关概念、图形和性质进行适当类比，初步学会用类比的思想分析问题和解决问题．
数学学科素养
1.数学抽象：多面体与旋转体等概念的理解；
2.逻辑推理：棱柱、棱锥、棱台的结构特点；
3.直观想象：判断空间几何体；
4.数学建模：通过平面展开图将空间问题转化为平面问题解决，体现了转化的思想方法.
教学重难点
重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征；
难点：棱柱、棱锥和棱台的侧面展开图问题.
课前准备
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程
一、 情景导入
在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等平面图形.但我们知道在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.那么对空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本97-100页，思考并完成以下问题
1、什么是空间几何体？什么是多面体与旋转体？
2、多面体包含哪些图形？这些图形是怎样定义的？又有什么结构特点？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、空间几何体
定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
2、多面体与旋转体
多面体的定义：由若干平面多边形围成的几何体叫做多面体,围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．
旋转体的定义：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．
3、、几种基本空间几何体的结构特征
（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、
五棱柱……
用各顶点字母表示棱柱，如棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又叫四面体。
棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如棱锥S-ABCD。
（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面区截棱锥，底面于截面之间的部分叫做棱台。
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点。
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’。
四、典例分析、举一反三
题型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特点
例1(1)下列命题中正确的是________．(填序号)
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面；
③三棱锥的任何一个面都可看作底面；
④棱台各侧棱的延长线交于一点．
(2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．
①这是一个六面体.
②这是一个四棱台.
③这是一个四棱柱.
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．
【答案】(1)③④(2)①③④⑤.
【解析】(1)结合有关多面体的定义及性质判断．对于①，还可能是棱台；对于②，只要看一个正六棱柱模型即知是错的；对于③，显然是正确的；④显然符合定义．故填③④.
(2)①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．③正确．如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱．
④⑤都正确．如图所示．
解题技巧（判断结构特点的注意事项）
在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断．
跟踪训练一
1、棱台不具备的特点是()
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
2、给出下列几个命题，其中错误的命题是()
A．棱柱的侧面都是平行四边形
B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点
C．多面体至少有四个面
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【答案】1、C. 2、D.
【解析】1.由棱台的定义及特征知，A、B、D是棱台的特点，故选C.
2.根据各种几何体的概念与结构特征判断命题的真假．A、B均为真命题；对于C，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故C也是真命题；对于D，只有当截面与底面平行时才对．
题型二 简单结合体的判断
例2如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．
【答案】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，祥见解析．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.
【解析】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．
截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.
解题技巧： (判断几何体的注意事项)
解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．
跟踪训练二
1、如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体有几个面、几个顶点、几条棱？
【答案】这个几何体有8个面；6个顶点；12条棱．
【解析】这个几何体有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
题型三 空间几何体的侧面展开图
例3 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
【答案】 ①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
【解析】①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．
例4 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．
【答案】最短路线长为.
【解析】沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：
(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝()＝＝4.
(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝()＝＝3.
(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝()＝.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
解题技巧（多面体展开图的解题策略）
(1)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．
(2)求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某条棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题.
跟踪训练三
1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()
2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()
A．1 B．2
C．快 D．乐
【答案】1、C.2、B.
【解析】1、选C 将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．
2、选B 由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与2相对，0与快相对，所以下面是2.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本101页练习，105页习题8.1的1、2、6、7、8题.
教学反思
本节课作为立体几何的第一节，概念比较多，理解起来需要一定的空间想象力，但有一小部分学生缺乏空间想象能力，所以上课的时候提前准备一些模型会更好，借助模型学生对棱柱、棱锥、棱台结构特征的理解会更加透彻.
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