高中数学《3.1空间图形基本位置关系的认识》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

视频教学：

练习：

1.(多选)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题正确的是(　　)

A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α

B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB

C.若l不在α内,A∈l,则A∉α

D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合

2.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则(　　)

A.M一定在直线AC上

B.M一定在直线BD上

C.M可能在直线AC上,也可能在BD上

D.M既不在AC上,也不在BD上

3.A,B,C为空间三点,经过这三点的平面有　　　　　个;三条平行直线最多能确定的平面的个数为　　　　　. 

4.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　　　　　. 

5.如图四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.

求证:E,F,G,H四点必定共线.

能力提升练

1.

(多选)如图,ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体,O是B₁D₁的中点,直线A₁C交平面AB₁D₁于点M,则下列结论正确的是(　　)

A.A,M,O三点共线

B.A,M,O,A₁四点共面

C.A,O,C,M四点共面

D.B,B₁,O,M四点共面

2.三个互不重合的平面把空间分成n部分,则n所有可能的值为　　　　　. 

3.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c和l共面.

4.

如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.

素养培优练

如图,不共面的四边形ABB\\\\\\\\'A\\\\\\\\',BCC\\\\\\\\'B\\\\\\\\',CAA\\\\\\\\'C\\\\\\\\'都是梯形.

求证:三条直线AA\\\\\\\\',BB\\\\\\\\',CC\\\\\\\\'相交于一点.

课件：

教案：

【教学目标】

能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.

【教学重难点】

点、线、面的位置关系.

【教学过程】

一、基础铺垫

1．点、线、面之间的关系及符号表示

A是点，l，m是直线，α，β是平面．

文字语言	符号语言	图形语言
A在l上	A∈l
A在l外	A∉l
A在α内	A∈α
A在α外	A∉α
l在α内	l⊂α
l在α外	l⊄α
l，m相交于A	l∩m＝A
l，α相交于A	l∩α＝A
α，β相交于l	α∩β＝l

名师点拨：

从集合的角度理解点、线、面之间的关系

（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．

（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．

（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．

2．空间中直线与平面的位置关系

位置关系	直线a在 平面α内	直线a在平面α外
直线a与平 面α相交	直线a与 平面α平行
公共点	无数个公共点	有且只有 一个公共点	没有公共点
符号表示	a⊂α	a∩α＝A	a∥α
图形表示

名师点拨：

一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．

3．空间中平面与平面的位置关系

位置关系	两个平面平行	两个平面相交
公共点	没有公共点	有无数个公共点（在一条直线上）
符号表示	α∥β	α∩β＝l
图形表示

名师点拨：

（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．

（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．

二、合作探究

例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．

平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.

（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．

α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.

【解】（1）符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．

（2）文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．

[规律方法]

三种语言的转换方法

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

2．空间两直线位置关系的判定

例2：如图，在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，判断下列直线的位置关系：

①直线A₁B与直线D₁C的位置关系是________；

②直线A₁B与直线B₁C的位置关系是________；

③直线D₁D与直线D₁C的位置关系是________；

④直线AB与直线B₁C的位置关系是________．

【解析】经探究可知直线A₁B与直线D₁C在平面A₁BCD₁中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A₁、B、B₁在平面A₁BB₁内，而C不在平面A₁BB₁内，则直线A₁B与直线B₁C异面．同理，直线AB与直线B₁C异面．所以②④应该填“异面”；直线D₁D与直线D₁C相交于D₁点，所以③应该填“相交”．

【答案】①平行②异面③相交④异面

[规律方法]

（1）判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断．

3.直线与平面的位置关系

例3：下列命题：

①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数为（    ）

A．1      B．2

C．3        D．4

【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．

因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．

因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．

因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．

综上，真命题的个数为1.

【答案】A

[归纳反思]

判断直线与平面的位置关系应注意的问题

（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．

（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．

4.平面与平面的位置关系

例4：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（    ）

A．平行        B．相交

C．平行或相交        D．以上都不对

【解析】如图，可能会出现以下两种情况：

【答案】C

[规律方法]

（1）平面与平面的位置关系的判断方法

①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；

②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

（2）常见的平面和平面平行的模型

①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；

②长方体的六个面中，三组相对面平行．

5.点、线、面位置关系图形的画法

例5：如图所示，G是正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱DD₁延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．

（1）过点G及AC．

（2）过三点E，F，D_1．

【解】（1）画法：连接GA交A₁D₁于点M，连接GC交C₁D₁于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．

（2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D₁P交CC₁于点M，连接D₁Q交AA₁于点N；连接MF，NE，则D₁M，MF，FE，EN，ND₁为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．

[规律方法]

直线与平面位置关系的图形的画法

（1）画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．

（2）画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．

（3）画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．

【课堂检测】

1．不平行的两条直线的位置关系是（    ）

A．相交      B．异面

C．平行        D．相交或异面

解析：选D．若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．

2．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（    ）

A．l∥α        B．l⊂α

C．l与α相交        D．以上都有可能

解析：选C．由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C．

3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（    ）

A．平行        B．异面

C．相交        D．平行或异面

解析：选D．如图：

4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（    ）

A．平行        B．直线在平面内

C．相交或直线在平面内        D．平行或直线在平面内

解析：选D．若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．

5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．

答案：异面

6．下列命题正确的是________．（填序号）

①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．

解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．

答案：①

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