高中数学《3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1．四个公理

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

拓展：公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

共面直线lc{
c (as4alco1(相交直线平行直线)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

②范围：(0°，90°]．

拓展：异面直线判定的一个定理

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示．

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

4．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

[常用结论]

唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

视频教学：

练习：

1.(多选)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题正确的是(　　)

A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α

B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB

C.若l不在α内,A∈l,则A∉α

D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合

解析α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点.

若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α,由平面的基本性质的基本事实1,可得A正确;

α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB,由平面的基本性质的基本事实2,可得B正确;

若l不在α内,A∈l,则A∈α或A∉α,可得C不正确;

若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本性质的基本事实3,可得D正确.

答案ABD

2.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则(　　)

A.M一定在直线AC上

B.M一定在直线BD上

C.M可能在直线AC上,也可能在BD上

D.M既不在AC上,也不在BD上

解析因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,EF与HG交于点M,所以M为平面ABC与平面ACD的公共点.而两个平面的交线为AC,所以M一定在直线AC上,故选A.

答案A

3.A,B,C为空间三点,经过这三点的平面有　　　　　个;三条平行直线最多能确定的平面的个数为　　　　　. 

解析当A,B,C不共线时,有一个平面经过三点;当A,B,C共线时,有无数个平面经过这三点.

当三条平行直线在一个平面内时,可以确定1个平面;当三条平行直线不在同一平面上时,可以确定3个平面.因此,最多可确定3个平面.

答案1或无数　3

4.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　　　　　. 

解析如图,因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.

因为l∩α=O,所以O∈α.又O∈AB⊂β,

所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.

答案共线

5.如图四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.

求证:E,F,G,H四点必定共线.

证明因为AB∥CD,所以直线AB,CD确定一个平面β,因为AB∩α=E,

所以E∈AB,E∈α,所以E∈β,所以E在α与β的交线l上.同理,F,G,H也在α与β的交线l上,所以E,F,G,H四点必定共线.

能力提升练

1.

(多选)如图,ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体,O是B₁D₁的中点,直线A₁C交平面AB₁D₁于点M,则下列结论正确的是(　　)

A.A,M,O三点共线

B.A,M,O,A₁四点共面

C.A,O,C,M四点共面

D.B,B₁,O,M四点共面

解析因为A,M,O三点既在平面AB₁D₁内,又在平面AA₁C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.

答案ABC

2.三个互不重合的平面把空间分成n部分,则n所有可能的值为　　　　　. 

解析若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分;

若三个平面有两个平行,第三个平面与其他两个平面相交,则可将空间分成6部分;

若三个平面交于一线,则可将空间分成6部分;

若三个平面两两相交且三条交线平行,则可将空间分成7部分;

若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系),则可将空间分成8部分.

故n的所有可能值为4,6,7或8.

答案4,6,7或8

3.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c和l共面.

证明如

图,因为a∥b,所以a与b确定一个平面α.

因为l∩a=A,l∩b=B,

所以A∈α,B∈α.

又因为A∈l,B∈l,所以l⊂α.

因为b∥c,所以b与c确定一个平面β,同理l⊂β.

因为平面α与β都包含l和b,且b∩l=B,

由推论2知,两条相交直线确定一个平面,

所以平面α与平面β重合,所以a,b,c和l共面.

4.

如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.

证明因

为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又=2,所以GH∥BD,且GH=BD,所以EF∥GH,且EF>GH,所以四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,因为EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.

素养培优练

如图,不共面的四边形ABB\\\\\\\'A\\\\\\\',BCC\\\\\\\'B\\\\\\\',CAA\\\\\\\'C\\\\\\\'都是梯形.

求证:三条直线AA\\\\\\\',BB\\\\\\\',CC\\\\\\\'相交于一点.

证明因为在梯形ABB\\\\\\\'A\\\\\\\'中,A\\\\\\\'B\\\\\\\'∥AB,所以AA\\\\\\\',BB\\\\\\\'在同一平面A\\\\\\\'B内.

设直线AA\\\\\\\',BB\\\\\\\'相交于点P,如图所示.

同理BB\\\\\\\',CC\\\\\\\'同在平面BC\\\\\\\'内,CC\\\\\\\',AA\\\\\\\'同在平面A\\\\\\\'C内.

因为P∈AA\\\\\\\',AA\\\\\\\'⊂平面A\\\\\\\'C,所以P∈平面A\\\\\\\'C.同理点P∈平面BC\\\\\\\',所以点P在平面A\\\\\\\'C与平面BC\\\\\\\'的交线上,而平面A\\\\\\\'C∩平面BC\\\\\\\'=CC\\\\\\\',故点P∈直线CC\\\\\\\',即三条直线AA\\\\\\\',BB\\\\\\\',CC\\\\\\\'相交于一点.

课件：

教案：

【教学目标】

掌握空间图形的基本事实1、2、3．

【教学重难点】

掌握平面的基本事实及推论.

【教学过程】

一、基础铺垫

平面的基本事实及推论：

公理	内容	图形	符号
基本事实1	过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面		A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2	如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内		A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
基本事实3	如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线		P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

推论1  一条直线和该直线外一点确定一个平面(图①)。

推论2  两条相交直线确定一个平面(图②)。

推论3  两条平行直线确定一个平面(图③)。

思考1：两个平面的交线可能是一条线段吗？

提示：不可能．由公理3知两平面的交线是一条直线．

思考2：经过空间任意三点能确定一个平面吗？

提示：不一定．只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．

二、合作探究

1.点线共面问题

【例1】  证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．

[思路探究]  先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外一条直线也在该平面内．或利用公理1的推论，说明三条相交直线分别确定两个平面α，β，然后证明α，β重合．

[解]  已知：如图所示，l₁∩l₂＝A，l₂∩l₃＝B，l₁∩l₃＝C．

求证：直线l₁，l₂，l₃在同一平面内．

法一：∵l₁∩l₂＝A，∴l₁和l₂确定一个平面α.

∵l₂∩l₃＝B，∴B∈l₂又l₂α，∴B∈α.

同理可证C∈α，又B∈l₃，C∈l₃，∴l₃α.

∴直线l₁，l₂，l₃在同一平面内．

法二：∵l₁∩l₂＝A，∴l₁，l₂确定一个平面α.

∵l₂∩l₃＝B，∴l₂，l₃确定一个平面β.

∵A∈l₂，l₂α，∴A∈α.

∵A∈l₂，l₂β，∴A∈β.

同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，

∴平面α和平面β重合，即直线l₁，l₂，l₃在同一平面内．

【规律方法】

证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：

（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；

（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；

（3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.

2.点共线与线共点问题

[探究问题]

（1）如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，那么点P，B，D共线吗？请说明理由．

提示：连接BD(图略)．

∵EF，HG相交于一点P，

且EF平面ABD，GH平面CBD，

∴P∈平面ABD且P∈平面CBD．

又平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴P∈BD，∴点P，B，D共线．

（2）如图，在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，设线段A₁C与平面ABC₁D₁交于点Q，能否判断B，Q，D₁三点共线？

提示：∵D₁∈平面ABC₁D₁，D₁∈平面A₁D₁CB，B∈平面ABC₁D₁，B∈平面A₁D₁CB，

∴平面ABC₁D₁∩平面A₁D₁CB＝BD_1．

∵A₁C∩平面ABC₁D₁＝Q，且A₁C平面A₁D₁CB，

∴Q∈平面A₁D₁CB，Q∈平面ABC₁D₁，

∴Q在两平面的交线BD₁上，∴B，Q，D₁三点共线．

【例2】  已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线．

[思路探究]  解答本题可以先选两点确定一条直线，再证明第三点也在这条直线上．

[证明]  法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.

又AB平面ABC，∴P∈平面ABC．

∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．

同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．

∴P，Q，R三点共线．

法二：∵AP∩AR＝A，

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，

∴平面APR∩平面α＝PR.

∵B∈平面APR，C∈平面APR，

∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，

∴Q∈平面APR.又Q∈α，

∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线．

【规律方法】

1．证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据公理3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上．

2．证明三线共点问题的方法主要是：先确定两条直线交于一点，再证明该点是这两条直线所在平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线．

三、课堂小结

1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．

2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．

四、课堂检测

1．思考辨析

（1）不平行的两条直线的位置关系为相交．      (    )

（2）两个平面的交线可以是一条线段．      (    )

（3）直线l在平面α内，可以表示为“lα”．      (    )

（4）平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线．      (    )

[解析]    （1）×，不平行的两条直线的位置关系为相交或异面，故（1）错．

（2）×，两个平面的交线是直线，故（2）错．

（3）√，正确．

（4）×，可能相交或平行，故（4）错．

[答案]  （1）×  （2）×  （3）√  （4）×

2．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.

C  [∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C．]

3．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是________．

平行、相交或异面  [两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能．]

4．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．

[解]  如图所示．∵a∥b，

∴直线a，b确定一个平面，设这个平面为α.

设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，

∴lα.即过a，b，l有且只有一个平面．

【第二课时】

【教学目标】

1．掌握基本事实4和“等角定理”．

2．理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义．

3．会求异面直线所成的角．

【教学重难点】

理解异面直线所成的角及直线与直线垂直的定义．

【教学过程】

一、基础铺垫

1．基本事实4

（1）条件：两条直线平行于同一条直线．

（2）结论：这两条直线平行．

（3）符号表述：a∥bb∥c)as4alco1(⇒a∥c).

2．等角定理

（1）条件：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行．

（2）结论：这两个角相等或互补．

思考1：当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，试问这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补？

提示：当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，这两个角相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反时，这两个角互补．

3．空间两条直线的位置关系

共面直线

异面直线：不共面的两条直线且没有公共点．

4．异面直线所成的角

定义	过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角
取值 范围	异面直线所成的角θ的取值范围：as4alco1(0，(π2))
特例	当θ＝π2时，a与b互相垂直，记作a⊥b

思考2：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？

提示：不一定．可能是相交，平行或异面．

二、合作探究

1．基本事实4的应用

【例1】  如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD．

[解]  （1）如题图，在△ABD中，

∵EH是△ABD的中位线，

∴EH∥BD，EH＝12BD．

又FG是△CBD的中位线，

∴FG∥BD，FG＝12BD，

∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面，又FG＝EH，

∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）由（1）知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD．

【规律方法】

空间中证明两直线平行的方法：

（1）借助平面几何知识证明，如三角形中位线性质、平行四边形的性质、用成比例线段证平行等.

（2）利用公理4证明，即证明两直线都与第三条直线平行.

2．等角定理的应用

【例2】  如图，在正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，M，M₁分别是棱AD和A₁D₁的中点．

（1）求证：四边形BB₁M₁M为平行四边形；

（2）求证：∠BMC＝∠B₁M₁C_1．

[解]  （1）∵ABCDA₁B₁C₁D₁为正方体，

∴ADA₁D₁，

又M，M₁分别为棱AD，A₁D₁的中点，

∴AMA₁M₁，

∴四边形AMM₁A₁为平行四边形，

∴MM₁AA_1．

又AA₁＝BB₁且AA₁∥BB₁，

∴MM₁BB₁，

∴四边形BB₁M₁M为平行四边形．

（2）法一：由（1）知四边形BB₁M₁M为平行四边形，

∴B₁M₁∥BM.

同理可得四边形CC₁M₁M为平行四边形，

∴C₁M₁∥CM.

由平面几何知识可知，∠BMC和∠B₁M₁C₁都是锐角，

∴∠BMC＝∠B₁M₁C_1．

法二：由（1）知四边形BB₁M₁M为平行四边形，

∴B₁M₁＝BM.

同理可得四边形CC₁M₁M为平行四边形，

∴C₁M₁＝CM.

又∵B₁C₁＝BC，∴△BCM≌△B₁C₁M₁，

∴∠BMC＝∠B₁M₁C_1．

【规律方法】

空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：

（1）若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；

（2）若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．

3．求异面直线所成的角

[探究问题]

（1）已知直线a，b是两条异面直线，如何作出这两条异面直线所成的角？

提示：如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ即两条异面直线a，b所成的角．

（2）a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？

提示：a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上．

【例3】  如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF＝3，求异面直线AD，BC所成角的大小．

[思路探究]  根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD，BC平移到同一平面内解决．

[解]  如图，取BD的中点M，连接EM，FM.

因为E，F分别是AB，CD的中点，

所以EM12AD，FM12BC，

则∠EMF或其补角就是异面直线AD，BC所成的角．

因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，

在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，

在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝3)2，

则sin∠EMH＝3)2，于是∠EMH＝60°，

则∠EMF＝2∠EMH＝120°.

所以异面直线AD，BC所成的角为∠EMF的补角，

即异面直线AD，BC所成的角为60°.

【规律方法】求两条异面直线所成的角的一般步骤：

（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法常用三角形中位线、平行四边形性质等作出异面直线所成的角.

（2）证明：证明作出的角就是要求的角.

（3）计算：求角度，常放在三角形内求解.

（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.

三、课堂总结

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．

2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．

四、课堂练习

1．思考辨析

（1）已知a，b，c，d是四条直线，若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d．

            (    )

（2）两条直线a，b没有公共点，那么a与b是异面直线．      (    )

（3）若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线．            (    )

[解析]  （2）×，也可能平行．

（3）×，可能平行、相交、异面．

[答案]  （1）√  （2）×  （3）×

2．下列结论中正确的是(    )

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c．

A．①②③                  B．②④

C．③④        D．②③

B  [①错，可以异面．②正确，公理4．③错误，和另一条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．]

3．已知直线a，b，c，下列三个命题：

①若a∥b，a⊥c，则b⊥c；

②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；

③若a⊥b，a⊥c，则b∥c．

其中，命题正确的是________．(填序号)

①  [①项正确；②项不正确，有可能相交也有可能异面；③项不正确，可能平行，可能相交也可能异面．]

4．如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2．

（1）BC和A′C′所成的角是多少度？

（2）AA′和BC′所成的角是多少度？

[解]  （1）因为BC∥B′C′，

所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．

在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，

B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.

因此，异面直线BC和A′C′所成的角为45°.

（2）因为AA′∥BB′，

所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．

在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，

所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.

因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.

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