高中数学《4.2 直线与圆锥曲线的综合问题》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

在解决直线与圆锥曲线的综合问题过程牵涉到大量的计算，这也对考生的计算能力提出更高要求。因此，今天老师就带大家一起学习直线与圆锥曲线的综合问题，分享一些解题策略。

首先，我们要知道直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用。

其次当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”。

研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解。　　

对于判定直线与圆锥曲线的位置关系时，我们通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)。

若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：

Δ>0?直线与圆锥曲线相交；

Δ＝0?直线与圆锥曲线相切；

Δ<0?直线与圆锥曲线相离．

若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点。

最后大家一定要记住，解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法。

1、若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；

2、若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法。

在利用代数法解决最值与范围问题时要从以下五个方面考虑：

1、利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

3、利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

4、利用基本不等式求出参数的取值范围；

5、利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围。

视频教学：

练习：

历年真题解析，2015上海卷理数。

考点:直线与圆锥曲线的综合问题，点到直线的距离公式，直线与圆，圆锥曲线的定义性质与方程。

本题注重考查学生的综合应用能力，方程思想，综合运算能力，是较难的题。

看到题目直线与椭圆相交，又说得到平行四边形的面积S，这里是不是好熟悉呀。心中有点小激动，应该会解吧，先拿出笔和纸画个简图哦。

方法1从向量入手利用三角函数表示面积，由面积的条件建立等量关系，其中涉及的同角平方关系，夹角公式向量的模等知识点都是基本的要求。同学们要培养训练的就是把散点的知识综合运用求解，想对而言可能大多数人还是倾向于解法2的路子。

下面我们一起来看看，下面这个方法是不是更容易想到呢：

由点到直线的距离公式表示出点C到直线l1的距离d，AB的距离等于2倍的OA的距离，同样利用两点间距离公式写出来。这里还可以用直线与椭圆联立方程组求弦长，当然就是光看这个思路就知道计算量肯定是稍大的。所以选择平面几何的知识就可以解决了，而平行四边形的面积就可以用两个△ABC的面积来表示，得证。

要算面积，由第一问的证明可以知道，面积是跟点A，C的坐标有关，具体方法的选用因人而异。可以确定的就是计算难度都不小，其实看着这个一二问的联系，我们大致猜到是可以算出一问中的值，方法1从计算难度和算法相对而言更接地气。

课件：

教案：

一、授课目的与考点分析：

直线与圆锥曲线的位置关系

二、授课内容：

5．直线与圆锥曲线的位置关系：

  （1）相交：直线与椭圆相交；

             直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线

         与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线

         与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；

             直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线

         与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是

         直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

例如 ①直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______；

      （答：[1，5)∪（5，+∞））

     ②过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样

        的直线有_____条。                                            （答：3）

  （2）相切：；

  （3）相离：。

特别提醒：

    ①直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

    ②过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

例如 ①过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______；

           （答：2）

     ②过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为    ______ ；                 （答：）

     ③过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分

       别是、，则_______ ；                                （答：1）

     ④已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的

       焦点的距离等于____；若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为

       _____；                                                 （答：）

     ⑤抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离

       为______。                                                    （答：2）

6、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）

      常见问题：定义和正弦、余弦定理求解。

例如 ①短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、

       B两点，则的周长为________；                            （答：6）

     ②设P是等轴双曲线右支上一点，F₁、F₂是左右焦点，，

       |PF₁|=6，则该双曲线的方程为        ；                    (答：）

     ③椭圆的焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上的动点，当→·→<0时，点p< span="">

       的横坐标的取值范围是       ；                         （答：）

     ④在RtΔABC中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过A,B两点，它的一个焦点为C点，另一

       个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为                      （答：()）

7、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐

   标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝。

例如 ①过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=6，

       那么|AB|等于_______；                                           （答：8）

     ②过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，

       则ΔABO重心的横坐标为_______。                                 （答：3）

8、中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

例如 ①如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是     ；

                                                           （ 答：）

     ②已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中

       点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；              （答：）

     ③试求m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称。

        （答）

特别提醒：

        因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称

    问题时，务必别忘了检验！！！

9．你了解下列结论吗？

  （1）双曲线的渐近线方程为；

  （2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为

      为参数，≠0）；

例如 ①与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_____。

                                                           （答：）

  （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；

  （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，抛物线的通径为。

  （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

  （6）若抛物线的焦点弦为AB，，则

       ①；②③。

10.动点轨迹方程：

  （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

  （2）求轨迹方程的常用方法：

      I、直接法：直接利用条件建立之间的关系；

      II、待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线

         的方程，再由条件确定其待定系数；

      III、定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接

          写出动点的轨迹方程；

例如 ①由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60⁰，则动

       点P的轨迹方程为         ；                             （答：）

     ②点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程是___； 

                                                               （答：）

     ③一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的

       轨迹为      ；                                         （答：双曲线的一支）

      IV、代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化， 并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；

例如 ①动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分 所成的比为2，

       则M的轨迹方程为__________。                            （答：）

      V、参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，

       可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

特别提醒：

      ①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量

        的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化；

      ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应

        注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响；

      ③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分

        线的双重身份――对称性)。

11、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

   （1） 给出直线的方向向量，一般地转化为斜率；

   （2）求角可以转化为向量的夹角，如求异面直线所成的角，二面角等。

例如 ①已知,动点在的边界及其内部区域上运

       动，又,求最大值。

（解析提示：，显然将C点坐标代入即得最大值。）

   （3）给出,等于已知是的中点；

   （4）给出,等于已知与的中点三点共线；

   （5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数

        ,等于已知三点共线；

   （6），一般地转化为三点共线或坐标运算；

   （7）给出,等于已知,即是直角,给出,等

       于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；

   （8）给出,等于已知是的平分线；

   （9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形；

   （10） 在平行四边形中，给出，等于已知 是矩形；

   （11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接

         圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

   （12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重

         心是三角形三条中线的交点）；

   （13）在中，给出，等于已知是 的垂心（三

         角形的垂心是三角形三条高的交点）；

   （14）在中，给出等于已知通过的

         内心；

   （15）已知点，为圆的一条直径；       ；

（提示：=

      。）

   （16）在中，给出,等于已知是中边的中线。

三、本次课后作业：

     圆锥曲线复习题

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