高中数学《3.1 空间向量基本定理》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

人教版《空间向量基本定理》微课精讲+知识点

视频教学：

练习：

1．(多选题)若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是(　　)

A．{a,2b,3c} B．{a＋b，b＋c，c＋a}

C．{a＋2b,2b＋3c,3a－9c} D．{a＋b＋c，b，c}

2．如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AC与BD的交点为点M，→＝a，→＝b，→＝c，则下列向量中与→相等的向量是(　　)

A．－12a＋12b＋c B．12a＋12b＋c

C．－12a－12b－c D．－12a－12b＋c

3．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝→＋→＋→，向量b＝→＋→－→，则不能与a，b构成空间的一个基底的是(　　)

A．→ B．→

C．→ D．→与→

4．(2020·四川广元高二期中)已知O为空间任意一点，A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面，且→＝m→＋→＋→，则m的值为(　　)

A．－1 B．2

C．－2 D．－3

5．(2020·陕西咸阳高二期末)如图，在四面体OABC中，M，N分别在棱OA，BC上，且满足→＝2→，→＝→，点G是线段MN的中点，用向量→，→，→表示向量→应为(　　)

A．→＝13→＋14→＋14→ B．→＝13→－14→＋14→

C．→＝13→－14→－14→ D．→＝13→＋14→－14→

课件：

教案：

一、教学目标：

1．知识目标：了解向量与平面平行的意义，掌握它们的表示方法。理解共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理，理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。会用空间向量的基本定理解决立体几何中有关的简单问题。

2．能力目标：通过空间向量分解定理的得出过程，体会由特殊到一般，由低维到高维的思想方法。培养学生类比、联想、维数转换的思想方法和空间想象能力。

3．情感目标：创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就引起学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与生活实践的联系。

二、教学重点：

运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。

三、教学难点：

空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。

四、教学过程

1．复习引入：

在平面向量中，我们学习了平行向量基本定理、平面向量基本定理，请大家回忆一下定理的内容。（找同学回答）

由上节课的学习，我们可以把平面向量的线性运算推广到空间向量，那么请大家思考：平行向量基本定理在空间中是否成立？

结论在空间中也成立。这就是空间中的“共线向量定理”（板书并投影）

注意：①向量；

②是共线向量的性质定理，是空间向量共线的判定定理；

2、问题探究：

“向量与平面平行”的概念：如果向量的基线平行于平面或在平面内，就称平行于平面，记作∥。

平行于同一平面的向量叫做共面向量。即可以平移到同一平面内的向量就是共面向量。

探究1：空间中任意两个向量一定共面吗？为什么？

探究2：空间中任意三个向量一定共面吗？请举例说明。

探究3：如果空间中三个向量共面，它们存在怎样的关系？

演示空间中三向量共面的情况，引导学生猜想。

如果两个向量不共线，则与共面的充要条件是存在唯一的一对实数，使得。

猜想的结论需要证明（提醒学生充要条件的证明要从“必要性”、“充分性”两方面进行）

（屏幕展示证明过程）

这就是共面向量定理：（板书并投影）

注意：

①三个向量共面，又称三个向量线性相关，反之，三个向量不共面,则称三个向量线性无关。

②可用来证明四点共面问题。

3、问题探究：

4、猜想探究：

类比平面向量基本定理，引导学生猜想三个不共线向量如何表示空间中任一向量。通过演示课件引导学生猜想空间向量分解定理。

空间向量的分解定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的一个有序实数组，使得．

师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。

板演证明：（存在性和唯一性两方面）

唯一性用反证法证明：若另有不同于x,y,z的实数x₁,y₁,z₁满足= x₁+y₁+ z₁，则x+y+ z= x₁+y₁+ z₁，即(x－x₁) +(y－y₁) +(z－z₁) =,又、、不共面，则x－x₁=0，y－y₁=0，z－z₁=0，所以x,y,z是唯一的实数。这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。

6、深化探究：

⑴表达式叫做的线性表达式，或线性组合；

⑵相关概念：其中{、、}叫做空间向量的一个基底，、、都叫做基向量。

牛刀小试：（对于空间向量的基底{、、}的理解）

提醒学生注意：

①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；

②三个向量不共面，隐含它们都是非零向量；

③基底是一个集合，一个向量组，基向量是基底中的某一向量。

④通常选择共点不共面的三个向量作为空间向量的基底。

⑤若{、、}是空间向量的一个基底，则由这三个基向量还能生成其它的基底。引导学生举例说明，结果不唯一，通过思考培养学生的发散思维。

如: +、+、+；2+3、4、等构成向量的基底。

思考：在= x+y+ z中，特别地，当x=0,则与、共面；若y=0，则与、共面；若z=0，则与、共面。当x=0, y=0时，与共线；当x=0, z=0时，与共线；当y=0, z=0时，与共线.这说明每一次维数增加了，高维数的定理不但发展了低维数的定理，并包含了低维数的结论，使得原来的定理仍适用，这种发展是继承的发展，是合理的发展。