高中数学《3.1 离散型随机变量的均值》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

1、离散型随机变量的均值

2、均值的性质

若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，

①Y也是随机变量；

②E(aX＋b)＝aE(X)＋b。

视频教学：

练习：

1.某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则( )

A. B. C.3 D.

2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为.由此可以估计( )

A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐

C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较

3.若随机变量X的分布列如表所示，且，则( )

X	4	a	9
P	0.5	0.1	b

A. B.7 C.5.61 D.6.61

4.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述一次试验的成功次数，则等于( )

A.0 B. C. D.

5.—个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球.现从中有放回地摸取4次，每次都是随机摸取1球，设摸得白球的个数为,若，则( )

A.1 B.2 C.3 D.4

课件：

教案：

一、教学预设

1．教学标准

（1）通过实例帮助学生体会取有限值的离散型随机变量的均值含义；

（2）通过比较使学生认识随机变量的均值与样本的平均值的区别与联系，并明确随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近随机变量的均值；

（3）在对具体实例的分析中，体会离散型随机变量分布列是全面的刻画了它的取值规律，而随机变量的均值则是从一个侧面刻画随机变量取值的特点；

2．标准解析

（1）内容解析：本课是一节概念新授课，数学期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数．学习数学期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测、经济风险与决策等领域有着广泛的应用，对今后学习及相关学科产生深远的影响．

根据以上分析，本节课的教学重点确定为：离散型随机变量的均值或期望的概念．

（2）学情诊断：本节是在《必修》中学习了样本的平均数和方差的基础上，学习离散型随机变量的均值．离散型随机变量可以看成是刻画某一总体的量，它的均值也就是总体的均值，一般它们是未知的，但都是确定的的常数；样本的平均值是随机变量．对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均数越来越接近于总体的平均值．本节重点是用均值解决实际问题，在解决实际问题的过程中使学生理解均值的含义．问题1从平均的角度引入随机变量均值的概念，直观上通过分析1kg混合糖果的组成，学生容易得到合理的价格，即价格是三种糖果价格的加权平均，至此问题已解决．问题2考虑1kg的糖果如何从混合糖果中取出，通过对问题的探讨，就把混合糖的合理价格理解为随机变量的值的加权平均，这个权就是相应的概率，把这个想法抽象出来，就可以得到随机变量均值的概念．问题3有助于理解随机变量均值的含义，它可以看成是这个随机变量的均值，即随着观察这个随机变量次数的增加，所得观测数据的平均值越来越接近于这个随机变量的均值．

根据以上分析，本节课的教学难点确定为：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．

（3）教学对策：利用思考栏目中的问题直接提出问题，引导学生理解混合糖果合理价格表达式中权的含义，由此引入取有限的离散型随机变量的均值的定义．这里的平均水平的含义是：反复对这个随机变量进行独立观测，随着观测次数的增加，得到的各个观测值的平均值越来越接近于这个随机变量的均值．

（4）教学流程：

二、教学实录

1．问题情境，引入新课

某商场为满足市场需求要将单价分别为18，24，36 的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？

【问题探究】

设问1：所定价格为元吗？

【评析】理解权重

设问2：假如我从这种混合糖果中随机选取一颗，记为这颗糖果的单价（）你能写出的分布列吗？

【评析】启发学生思考加权平均和权数的含义．

设问3：如果你买了1kg这种混合糖果，你要付多少钱？而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？

【评析】理解样本平均值与随机变量均值的差异．

【概念建构】

（1）均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

			…		…
	P3		…		…

则称…… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．

（2）均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

（3）平均数、均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令，则有，，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．

【学以致用】

例1：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。

师：随机变量ξ 的期望与 ξ 可能取值的算术平均数何时相等?

生：ξ 取不同数值时的概率都相等时，随机变量的期望与相应数值的算术平均数相等。

变式：将所得点数的2倍加1作为得分分数，即，求的数学期望.

师：的期望与ξ 的期望有什么样的关系？

生：有一定的线性关系，的期望等于ξ 的期望的2倍加1.

师：你们能推导出一般形式吗？

【问题拓展】

均值或期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ	x₁	x₂	…	x_n	…
η			…		…
P	p₁	p₂	…	p_n	…

于是……

＝……)……)

＝，

例2：根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.

求：工期延误天数 Y 的均值。

解：由已知条件和概率的加法公式有：

所以Y的分布为：

Y	0	2	6	10
p	0.3	0.4	0.2	0.1

故工期延误天数Y的值为3

【评析】

生活中蕴涵数学知识,数学知识又能解决生活中的问题。例题与生活密切联系,让学生感受数学在生活中的广泛应用。

例3. 某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙，丙两公司面试的概率
均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记x为该毕业生得到的面试公司个数。若，

求随机变量x的数学期望。

师：上例题能否归纳出求解期望或均值的解题步骤?

生：归纳求离散型随机变量期望的步骤：

①确定离散型随机变量可能的取值。

②写出分布列，并检查分布列的正确与否。

③求出期望。

【评析】

本题除了注重知识，还注重引导学生对解题思路和方法的总结，可切实提高学生分析问题、解决问题的能力，并让学生养成良好的学习数学的方法和习惯。

【课堂小结】

师：你有哪些收获？

生：相互讨论，小组总结：“一个概念，两个注意，三个步骤”。

(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)样本平均值和随机变量均值的区别与联系；

(3)求离散型随机变量的期望的基本步骤：

①理解的意义，写出可能取的全部值；

②求取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出．公式。

三、教学反思

本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法．通过学生回答问题，举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解和运用．教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上．让学生学以致用，真正感受到数学无穷的魅力所在．

成功之处：①学生自己发现问题,分析问题,解决问题,这一过程遵循由特殊到一般,从感性到理性的认知规律,培养学生归纳,抽象的能力. ②通过实际应用,培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力,让学生体验数学知识在解决实际问题中的作用，同时加深对所学知识的理解．

改进之处：本节课理解应用的内容有点偏多，可根据不同班级的学生情况适当进行删减．

四、教学点评

通过创设情境激发学生学习数学的兴趣，引导学生分析问题、解决问题．通过概念的构建，培养学生归纳、概括等合情推理能力．再通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识．“授之以鱼，不如授之以渔”，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题．

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