高中数学《8.1 二分法与求方程近似解》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-13

语文

数学

英语

知识点：

1、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。

2、方程的根与函数的零点的关系：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

3、函数零点的存在性

对函数零点的存在性应从以下几方面进一步理解：

（1）函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号；

（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；

（3）在函数的某一单调区间内，至多有一个零点；

（4）如果函数在一个区间上的图象不间断，并且它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间至少有一个零点。

4、二分法

对于在区间[a，b]上连续不断、且f（a）· f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

5、用二分法求方程的近似解

步骤：

（1）确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；

（2）求区间（a，b）的中点x₁；

（3）计算f（x₁）；

1）若f（x₁）＝0，则x₁就是函数的零点；

2）若f（a）·f（x₁）＜0，则令b＝x₁（此时零点x₀∈（a，x₁））；

3）若f（b）·f（x₁）＜0，则令a＝x₁（此时零点x₀∈（x₁，b））。

（4）判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复2～4。

说明：

1）二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性。

2）二分法中运用了“逐步逼近”的数学思想，它是通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值（即方程近似解）。“逐步逼近”思想在许多数学知识中都有很好的运用，希望同学们在学习中要多加领会。

3）二分法求函数零点的不足：二分法的思路虽然简单，但一方面，若函数在上有几个零点时，则只能算出一个零点；另一方面，即使函数在上有零点，也未必有，这就限制了二分法的使用范围。

视频教学：

练习：

1、方程的根与函数的零点

例1、已知函数的图象，如图所示，则（）

分析：这个问题中、、、四个待定系数要由图象及方程的根来确定。

解析：从图中可得，∴，

又知还有两个零点，可设函数解析式为：

。

当时，，∴，又由得，。

故答案选A。

小结：要会根据函数的零点来设解析式，掌握判断最高次项系数符号的方法。该例的解法还很多，同学们不妨再探讨一下其他解法。

例2、关于的一元二次方程的两根分别落在区间，内，求实数的取值范围。

分析：该例是一元二次方程根的分布问题，解题关键是由图象的分布要求，列出不等式求解。

解析：设二次函数，其对称轴为，图象开口向上，如图所示。

依题意得，解得，

∴实数的取值范围为。

小结：函数与方程之间有着密切的联系，在解决其中某一方面的问题时，经常转化为另一方面的问题，在这个转化过程中，函数的零点起着非常重要的作用。

例3、已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围。

分析：利用在区间上有零点，画出草图，列出不等式求解。

解析：若，，显然在上没有零点，所以。

（1）当恰有一个零点在上时，则

或

解得或。

（2）当在上有两个零点时，则

或

解得或。

综上，所求实数的取值范围是或。

小结：当函数在某区间有零点时，要注意对零点的个数加以分析和讨论。

2、利用函数零点解不等式

例4、求函数的零点，并指出当，时的取值范围。

分析：该例主要考查二次函数与一元二次方程间的关系，关键是作出的简图。

解析：解方程得，，

∴函数的零点为，1，。

画出函数的简图，如图所示，从图象可以看出：

当时，；当或时，。

故函数的零点为，1；

时，的取值范围为；

时，的取值范围为。

小结：一元二次函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号，且在任意两个相邻的变号零点之间所有函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以求解一元二次不等式。

3、用二分法求方程的近似解

例5、用二分法求函数的一个正零点（精确到0.1）。

分析：按照用二分法求方程近似解的一般步骤求解。

解析：由于要求的是函数的一个正零点，因此可以考虑首先确定一个包含正零点的恰当区间，如，，，故可取区间为计算的初始区间（当然也可以），用二分法逐次计算，列表如下：

区间	中点	中点函数值

由上表计算可知，区间的长度，所以可以将的近似值作为函数零点的近似值。

课件：

教案：

模块	必修1	课题	二分法求方程的近似解	课程类型	新授课
教学目标	目标解读	1.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤 2.能够借助计算机或计算器求方程的近似解 3.掌握函数零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的能力
学法指导	1.自主预习教材，结合情景回答设置问题，了解二分法的概念和步骤 2.通过预习做基础交流试题并小组交流探讨，初步掌握二分法应用的前提以及原理 3.通过探究合作的方式理解二分法求函数近似零点或方程近似根的步骤等 4.小组合作完成课程目标检测试题 5.小组总结归纳本节主要内容，完成思维导图
导学建议	重点难点	重点：会用二分法求方程的近似根难点：对函数与方程思想的灵活应用
教学建议	1. 运用给定的问题情景，理解二分法的原理 2．通过合作讨论来学习用二分法求方程的近似解 3.鼓励学生课后自己进行归纳和总结，培养学生自主学习和合作学习的态度
课前准备	教师准备：多媒体课件、课件学生准备：预习课本，完成知识导学和基础学习交流中的题目，记录在预习时产生的问题
导学过程设计
程序设计	学习内容	教师行为	学生行为（预设）	媒体运用
创设情境	在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，非常困难，每查一个点要爬一次电线杆， 10 km长，大约有200多根电线杆.请同学们设计一个较简便的维修方案	图片
新课导入	在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座．虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.这节课我们就用另一种方法来求解方程的近似解——二分法
第一层级	基础知识学习与归纳	课前先检查导学案知识导学完成情况并分组回答知识导学中挖空内容，注意归纳以下几个知识点 1.二分法的概念 2.二分法的步骤 3.归纳出二分法的算法框图	学生预习教材，思考并回答问题.对重点内容作出标注，对不理解的内容进行圈注	PPT课件
基础知识初步应用	前面大家完成的问题回答得非常好，接下来同学们开始小组进行交流，抢答基础题，答对的小组加分，解答过程中注意以下几个问题： 1.题1中注意利用零点存在性定理来判断 2.判定初始区间是利用二分法的前提 3.题4注意利用给定的数据	相互检查基础交流完成的情况，对不同的答案和解法进行讨论，初步掌握二分法的步骤
第二层级	探究一：二分法的概念	分组探究，两个组互相点评对方答案的不足，小组PK讨论时，其他的组成员都要听并且进行点评，优胜组加分教师要把学生探究中生成的问题记录下来并加以解决可能生成的问题： 1.对二分法的适用范围理解不到位 2.对二分法的步骤掌握不清 3.利用二分法求函数近似零点或方程近似根时其初始区间不会确定或者确定的范围太大使得计算过程较为复杂	小组合作解决重点难点探究上的例题，达成以下目标： 1.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤 2.能够借助计算机或计算器求方程的近似解	微课
探究二：利用二分法求函数的近似零点或方程的近似解
探究三：二分法思想在实际问题中的应用
思维拓展应用	小组合作完成，教师注意检查小组在做题时出现的问题并引导指出	通过小组训练，巩固探究中的目标，加深对二分法求方程近似解的理解	PPT课件
第三层级	基础智能检测	各小组讨论交流基础智能检测题，并小组间相互比对，对学生没理解或做错的试题鼓励学生试讲，最后老师评价与补充	以小组为单位进行合作探究，小组间相互点评、质疑、补充、纠正等	PPT课件
全新视角拓展	本节内容展示的是高一检测试题，考查的是函数单调性的判断、零点存在性定理、二分法的应用等，综合性较强，但经认真思考，学生完全能解答.解答完成后，鼓励学生对其进行改编，培养创新思想和学习兴趣	学生动手解答题目，小组讨论与交流，各小组对试题进行改编，并展示评价，老师点评，对改编做得最好的小组进行加分鼓励	PPT课件
第四层级	归纳总结	让学生自由发言，对本节内容进行归纳，老师把学生归纳的方法小结写在黑板上，培养学生归纳总结能力，最后对学生归纳还没到位的内容进行补充，各小组合作完成本节内容的思维导图
课外拓展	布置作业：对应固学案部分题目（可根据学生的差异布置，基础偏低的班级做1-5题，基础扎实的做3-8题，基础较好的班级做5-10题）
板书设计	课题：二分法求方程的近似解一、二分法的概念二、二分法的步骤是怎样的探究一二分法的概念探究二利用二分法求函数的近似零点或方程的近似解探究三二分法在实际问题中的应用