高中数学《11.2 正弦定理》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-13

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知识点：

1．正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，

2．解三角形

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

视频教学：

练习：

1．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

2．在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c等于(　　)

A．1 B.2

C．32 D.3

3．在△ABC中，若A＝π4，sin B＝2cos C，则△ABC为(　　)

A．直角非等腰三角形

B．等腰非直角三角形

C．非等腰且非直角三角形

D．等腰直角三角形

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝45°，a＝6，b＝32，则B的大小为(　　)

A．30° B．60°

C．30°或150° D．60°或120°

5．(易错题)在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(　　)

A．A>B B．A<< span="">B

C．A≥B D．A，B的大小关系不确定

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于(　　)

A. 725 B．－725

C．±725 D.2425

课件：

教案：

《正弦定理》是高中教材人教𝐴版必修五第一章第一节第一课时的内容，这节课安排在必修四三角函数及平面向量知识的后面，承前启后，是三角函数知识在三角形中的具体运用，更是初中“三角形边角关系”和“解直角三角形”内容的直接延续和拓展，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中边与角之间的数量关系，找到各边及其所对角正弦的比值关系，从而解三角形，进而解决一些数学问题及生产生活实际问题。

二.学情分析

本节授课对象是高一学生，在之前学生已经学习了必修四的相关知识，但对于新知识的探究，学生虽有一定的观察分析能力和解决问题的能力，但是在前后知识的串联上会有一定的难度。所以教师在教学过程中应该提高学生学习的积极性，注意对学生的引导，强调新知识的生成，从而加深学生对《正弦定理》的理解，并要及时给出相应例题，帮助学生掌握知识的应用。

三.教学目标

知识技能	通过创设问题情境引入，使用几何画板，引导学生发现正弦定理，并证明正弦定理。利用畅言云资源帮助学生理解正弦定理在生活中的应用，并会初步运用正弦定理求解三角形的两类问题。
过程方法	引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其所对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察、猜想，由特殊到一般的数学思想和运用已知求解未知的解题能力。
情感态度价值观	通过生活实例激发学生探究的兴趣，借助几何画板软件培养学生动手能力，通过自主思考、合作探究，体验数学规律发现的乐趣，通过对数学思想方法的探索，感知数学之美。

四.教学重点与难点

1.教学重点：正弦定理的发现、探究、证明以及两类主要的应用；

2.教学难点：正弦定理的发现、证明过程及其应用。

五.教学准备

PPT 课件，智慧课堂平板，几何画板，微课，三角板。

六.教学过程

教学过程	设计意图
情景引入 3分钟	微课播放，以视频引入，提出问题“和平饭店到东方明珠塔底的直线距离有多远呢？”进而生活中的实际问题转化为数学问题。	从生活中的实例出发，利用微课小视频，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解数学源于生活，生活可以带来很多数学启示。
【引例】在𝛥𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵𝐶 = 747𝑚,𝐵 =71°,𝐶 = 66°,求𝐴𝐵. 问题一：课前预习中的三角形知识点可否求解？	课前预习衔接之前的知识点及本节课新知，通过三角形中的知识点的回顾，发现无法求具体值，引导学生作定量分析。
问题二：运用初中已经学习的知识可否解决这个问题？	新旧知识的衔接，发现原有求解方法的计算较为麻烦，进而体现三角形中边角关系探究的必要性。
定理探究 20分钟	探究一：直角三角形中的边角关系在𝑅𝑡𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶是最大的角，所对的斜边𝑐是最大的边，探究边角关系。思考：这个关系式能否推广到任意三角形呢？	解：在𝑅𝑡𝛥𝐴𝐵𝐶中，设𝐵𝐶 = 𝑎,𝐴𝐶 = 𝑏,𝐴𝐵 = 𝑐，由正弦函数定义：有𝑠𝑖𝑛𝐴 =𝑎/𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐵 =𝑏/𝑐 ∴𝑎/𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏/𝑠𝑖𝑛𝐵= 𝑐 又∵ 𝑠𝑖𝑛𝐶 = 1 ∴ 𝑎/𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐵 =𝑐/𝑠𝑖𝑛𝐶
数学实验：借助几何画板动态演示，发现随着三角形的任意变换，𝑎/𝑠𝑖𝑛𝐴 、𝑏/𝑠𝑖𝑛𝐵 、𝑐/𝑠𝑖𝑛𝐶 的值相等。利用智慧课堂“随机问答”功能选取一名学生总结实验中发现的规律。通过这个实验，我们发现𝑎 /𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑏/𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑐/𝑠𝑖𝑛𝐶 这个结论可以推广到任意三角形中去。那该如何证明呢？	由特殊的直角三角形入手，引导学生发现边角关系结论，利用数学软件几何画板让学生独立发现结论适用于任意三角形，几何画板的展示明了清晰，学生可以直观感受到数学的神奇之处，为后面的证明增加信心，采用随机问答功能提高课堂趣味性。
探究二：锐角三角形中边角关系的证明学生活动：利用作高的方法，在锐角三角形中构建直角三角形，独立完成证明。并使用智慧课堂中的“抢答”功能选取一名学生讲解证明过程。	教师引导学生进行探究，体现了以学生为主、教师为辅的课堂模式，给学生充分展现自我的机会，加强了师生间的交流，培养了学生的能动性。
探究三：钝角三角形中边角关系的证明那么在钝角三角形中是否成立呢？请同学们尝试着分组自己证明一下。学生活动：分小组讨论，使用“智慧课堂中的讨论、小组𝑃𝐾”功能，小组讨论得到结论后，各小组派一名学生代表使用“拍照上传”功能进行小组成果展示，后从六个代表中抽一名同学上黑板对自己的解题过程进行讲解，老师做总结后，𝑃𝑃𝑇 演示重温证明过程。然后，教师对六个代表拍照上传的作品进行批阅，对完成较好的小组予以表扬。最后教师使用“至课本”功能展示正弦定理的定义。正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐶	充分发挥学生的能动性，利用小组讨论的形式培养学生的合作意识，选取代表讲解成果，可以锻炼学生的表达能力，分小组𝑃𝐾可以激发学生的竞争意识，使课堂的效果更好。学生讲解完后，老师的批阅也可以将课堂学习的状况及时反馈给学生们，使课堂更加高效。
探究四：外接圆法证明正弦定理（微课视频动态演示）学生发现：𝑎/𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏/𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐 /𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑅（其中𝑅为三角形外接圆半径）	趣味的微课视频，帮助学生理解各边与其对角正弦比的比值究竟为什么，缩短教学时间，丰富教学内容，可以开拓学生的思维，加深学生记忆。
例题巩固 18分钟	【例 1】已知在△ 𝐴𝐵𝐶 中，𝑐 = √3,𝐵 = 45°,𝐶 = 60°,则𝑏 = ( ). 𝐴.√2/2 𝐵.√3/2 𝐶.3√2/2 𝐷.√2 学生自主完成，利用智慧课堂“选择题答题卡”功能上传答案。教师使用智慧课堂生成报告，展示学生做题情况，抽取一名学生回答思考过程，并引出解三角形定义。解三角形：一般地，把三角形的三个角𝑨 、 𝑩 、 𝑪和它们的对边𝒂 、 𝒃 、 𝒄叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。	设计意图：正弦定理的简单应用，增强学生的信心，通过智慧课堂生成的报告，及时了解学生的掌握情况，同时引出解三角形的定义。
定理应用，解决引例【引例】在𝛥𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵𝐶 = 747𝑚,𝐵 = 71°,𝐶 = 66°,求𝐴𝐵. 解：𝐴𝐵/𝑠𝑖𝑛𝐶=𝐵𝐶/𝑠𝑖𝑛𝐴,即𝐴𝐵 =747∙𝑠𝑖𝑛66°/𝑠𝑖𝑛43°=1000.61597918……(𝑚) 使用智慧课堂“畅言云”云端资源科学计算器计算三角函数值，并使用 “地图软件测距”功能验证计算结果的准确性。引导学生总结，该类应用为：已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和一角。	通过科学计算器和地图测距的使用，帮助学生们了解互联网 +时代下学习的重要性，同时首尾呼应解决了本节课开始的引例，突出正弦定理在实际生活中的应用。
【例 2】已知在 △ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶 = 5,B = 300，𝐴𝐵 = 5√3, 求其他的量。学生自主探究，选取两名学生的作业“拍照上传”并对比讲解。引导学生总结，该类应用为：已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角或其他的边、角。	问题难度升级，体现习题的层次性，学生使用拍照上传功能可以及时有效地展示学生的思考过程，通过对比讲评，可以让学生们直接观察到本题的易错点，从而加深印象。
课堂小结 4 分钟	1.正弦定理的内容（ 𝑎/𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏/𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐/𝑠𝑖𝑛𝐶= 2𝑅）及其证明的思想方法； 2.正弦定理的主要应用：已知三角形的两角及一边，求其他元素；已知三角形的两边和其中一边对角，求其他元素； 3.特殊到一般、转化化归的思想、分类讨论的思想。