高中数学《11.3 余弦定理、正弦定理的应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-13

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知识点：

一、正、余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。

二、正、余弦定理中的常用角

1、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)。

2、方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等。

3、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4、坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数。

三、解正、余弦应用题的一般步骤

1、阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力。

2、根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型。

3、根据题意选择正弦定理或余弦定理求解。

4、将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

四、解正、余弦定理应用题的常见情形

1、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。

2、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解。

视频教学：

练习：

1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的()

A．东偏北45°10′方向上　

B．北偏东45°50′方向上

C．南偏西44°50′方向上

D．西偏南45°50′方向上

解析：选C　如图所示，点Q在点P的南偏西44°50′的方向上．

2．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是()

3.如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________米

4.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，则河的宽度为________．

5.如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140°.A处有一灯塔，其方位角是110°，在C处观察灯塔A的方位角是35°，由B到C需航行半个小时，求C到灯塔A的距离．

课件：

教案：

一、学习目标：

1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形中的有关问题；

2. 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题;

3．培养学生对知识的应用能力和逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度和实事求是的生活观念。

二、学习过程：

（一）复习引入

根据前面我们学习的内容，请同学们将以下的内容补充完整：在中，为其内角，分别表示的对边．则有：

1．三角形内角和：A＋B＋C＝．

2．正弦定理： = = = ，其中R是三角形外接圆的半径．

由正弦定理可以变形为：.

（1）= : : ；

（2）a= , b= , c= ；[来源:Z。xx。k.Com]

（3）sinA= , sinB= , sinC= 等形式，以解决不同的三角形问题．

3．面积公式：S= = = ．

4．余弦定理：

, 源:Zxxk.Com]

余弦定理可以变形为：

．

（二）问题探究

问题1：在三角形中，正、余弦定理有哪些应用？

问题2：在实际生活问题中，遇到距离、方向等问题时，我们又如何处理呢？例如：某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．学&科&网]

好，下面我们一起来研究。首先，我们先看下面这样一个问题：

例1 如图，为了测量河对岸两点A,B之间的距离，在河岸这边取点C，D，测得，设A,B,C,D在同一平面内，试求A,B两点之间的距离（精确到1m）．

问题3：如何来计算AB距离呢？实际问题又如何转化呢？

问题4：通过图形我们可以观察到：AB既是的一条边，也是的一条边，我们是否可以放在（或）中来求呢？

问题5：如果放在中，根据题意我们需要哪些条件（或者说能推出哪些条件）？

我们可以在三角形中求出,在三角形中求出,又由已知条件求出，从而在三角形中，求出AB．

问题6：如果放在中，根据题意我们需要哪些条件（或者说能推出哪些条件）？同学们课后自己动手做一做。

【总结】在实际问题中，我们把实际问题转化为数学问题，而在测量距离问题中我们通常把所求量和和已知量集中到同一个（或多个）三角形中，借助正、余弦定理来求．

这样对于前面的问题2就很容易求解了:

例2 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1°，时间精确到1min）．学&科&网]