高中数学《12.2 复数的运算》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

三

复数运算

1.加、减、乘、除运算：

设z₁=a₁+b₁i，z₂=a₂+b₂i

z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i

z₁-z₂=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i

z₁·z₂=(a₁+b₁i)·(a₂+b₂i)

       =a₁a₂+a₁b₂i+a₂b₁i+b₁b₂i²

 =(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i

2.其他结论

① i¹=i, i²=-1，i³=-i，i⁴=1

备注：求iⁿ只需将n除以4看余数是几就是i的几次方

② iⁿ+iⁿ⁺¹+iⁿ⁺²+iⁿ⁺³=0

③ (1+i)²=2i，(1-i)²=-2i

④ 若z=a+bi，则

视频教学：

练习：

1．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)

A．1＋i    B．1＋3i

C．－1－i  D．－1－3i

2．设z₁＝2＋bi，z₂＝a＋i，当z₁＋z₂＝0时，复数a＋bi为(　　)

A．1＋i  B．2＋i

C．3     D．－2－i

3．复数(3＋mi)－(2＋i)对应的点在第四象限内，则实数m的取值范围是(　　)

A．m<< span="">23  B．m<1< span="">

C.23<< span="">m<1  D．m>1

4．已知复数z₁＝(a²－2)－3ai，z₂＝a＋(a²＋2)i，则z₁＋z₂是纯虚数，那么实数a的值为(　　)

A．1    B．2

C．－2  D．－2或1

5．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)

A.5     B．5

C．25  D．10

6．(探究题)如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)

A．1  B.2

C．2  D.5

课件：

教案：

教材分析

复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i²换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.

 教学目标与核心素养

课程目标：

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;

3.理解且会求复数范围内的方程根.

数学学科素养

1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;

2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;

3.数学运算：复数四则运算;

4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.

教学重难点

重点：复数代数形式的乘法和除法运算． 

难点：求复数范围内的方程根.

 课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练.

教学工具：多媒体.

 教学过程

一、 情景导入

前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本77-79页，思考并完成以下问题

1、复数乘法、除法的运算法则是什么？

2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．复数代数形式的乘法法则

已知z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z₁·z₂＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

 [提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i²换成－1，再把实部、虚部分别合并．

2.复数乘法的运算律

对于任意z₁，z₂，z₃∈C，有

交换律	z1·z2＝z2·z1
结合律	(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律	z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3

3．复数代数形式的除法法则

四、典例分析、举一反三

题型一  复数的乘法运算

例1计算下列各题．

(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）² .

【答案】(1) －20＋15i.  (2) 13.   (3) 2i.

【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.

(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i²＝4+9＝13.

(3)原式＝1＋2i＋i²＝1＋2i－1＝2i.

解题技巧（复数乘法运算技巧）

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

(1)首先按多项式的乘法展开．

(2)再将i²换成－1.

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)(a＋bi)²＝a²－b²＋2abi(a，b∈R)．

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a²＋b²(a，b∈R)．

(3)(1±i)²＝±2i. 

跟踪训练一

1．计算：(1－i)²－(2－3i)(2＋3i)＝()

A．2－13iB．13＋2i

C．13－13iD．－13－2i

【答案】D.

【解析】  (1－i)²－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i²－(4－9i²)＝－13－2i.

2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()

A．(－∞，1)  B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)  D．(－1，＋∞)

【答案】B.

【解析】因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，

题型二  复数的除法运算

例2计算(1＋2i)(3－4i).

解题技巧： (复数的除法运算技巧)

1．两个复数代数形式的除法运算步骤

(1)首先将除式写为分式；

(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；

(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．

2．常用公式

   (1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.

跟踪训练二

题型三  复数范围内的方程根问题

例3 在复数范围内解下列方程：

解题技巧（解决复数方程根问题的技巧）

与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．

跟踪训练三

1、已知1＋i是方程x²＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．

(1)求b，c的值；

(2)试判断1－i是否是方程的根．

【答案】(1)b＝－2，c＝2. (2)1－i也是方程的一个根．

【解析】(1)因为1＋i是方程x²＋bx＋c＝0的根，

∴(1＋i)²＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.

(2)将方程化为x²－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x²－2x＋2＝(1－i)²－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本80页练习，80页习题7.2的剩余题.

教学反思 

本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识.

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