高中数学《13.3 空间图形的表面积和体积》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积

将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。

1、圆柱的侧面展开图——矩形

圆柱的侧面积

2、圆锥的侧面展开图——扇形

圆锥的侧面积

3、圆台的侧面展开图——扇环

圆台的侧面积

（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。

1、柱的侧面展开图——矩形

直棱柱的侧面积

2、锥的侧面展开图——多个共点三角形

正棱锥的侧面积

3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形

正棱台的侧面积

说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式

①即锥体的侧面积公式；

②c\\\\\\\'＝c时即柱体的侧面积公式；

（三）棱柱和圆柱的体积

斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长

（四）棱锥和圆锥的体积

（五）棱台和圆台的体积

说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：

①时即为锥体的体积公式；

②S_上＝S_下时即为柱体的体积公式。

（六）球的表面积和体积公式

（七）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用

割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；

补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：

视频教学：

练习：

1、给出下列几个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是(　　)

A．0        B．1      C．2        D．3

2、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)

3、如图所示，在正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，E为棱BB₁的中点，用过点A，E，C₁的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　　)

4、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)

A．32　　 　B．23          C．22       D．2

5、某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)

A．10　　　 　B．12       C．14         D．16

课件：

教案：

【教材版本】

 北师大版

【教材分析】

 本节课的教学内容是《数学必修2》第一章§7.1简单几何体的侧面积，教学课时为1课时．

 在生产建设、科学实验及社会生活实践中，常常会遇到计算物体表面积与体积的问题．因此让学生学会计算一些简单几何体面积对于学生以后的学习和生活都是非常重要的．《新课标》要求对直棱柱、正棱锥、正棱台、圆台，通过观察它们的侧面展开图得到其面积的计算公式．《标准》不要求记忆公式．

【学情分析】

 在九年义务教育阶段，学生在初中七年级已经学习了长方体和正方体侧面积和表面积的计算方法和公式，也在“展开与折叠”中通过实际操作了解了柱体、锥体、台体的侧面展开图．这节课将在义务阶段学习的基础上，通过圆柱、圆锥、圆台以及棱柱、棱台的侧面展开图深入学习这些简单几何体的侧面积求法．

【教学目标】

 1、知识与技能

 掌握柱、锥、台表面积计算公式(不要求记忆公式)，理解公式所表示的意义．对比认识柱、锥、台的面积公式．

 会运用公式解决一些实际问题．

 2、过程与方法

 学生已在义务教育阶段了解了几何体的展开图，也明确了通过展开图计算几何体的侧面积和表面积的思想．在本节中，联系义务阶段的基础知识，不难推出柱体、锥体的侧面积．对于比较复杂的圆台、棱台公式将直接给出，不进行证明，只要求学生理解公式所表示的意义，着重让学生把柱、锥、台表面积计算公式统一起来认识，加强联系和对比，会利用公式进行计算．

 3、情态与价值

 通过让学生实际操作，剪开一些柱、锥、台体，并结合课件展示使学生通过研究几何体展开的平面图形学习其侧面积计算公式，这样不仅可以培养学生的几何兴趣，也逐步了解把立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想和类比的思想方法．

【重点难点】

 教学重点:柱、锥、台体面积公式．

 教学难点:如何有效准确地运用柱、锥、台体的面积公式解决问题．

【教学环境】

 多媒体课件

【教学过程】

 一、导入新课

 师：在这一章的第一节里，同学们已经充分地认识了简单旋转体：圆柱、圆锥和圆台，也学习了简单多面体：棱柱、棱锥和棱台的一些性质．而在现实生活、生产实践中我们还需要计算这些简单几何体的侧面积和体积．因此，这一节课我们就首先来探究一下柱体、锥体和台体侧面积的计算方法．请同学们思考以下三个问题：

①棱长为a的正方体的表面积是多少？

②什么是柱体、锥体、台体的侧面积？

③简单几何体的侧面积与它侧面展开图的面积关系如何？

生：①6a²

②把柱体、锥体、台体的侧面沿着一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积．

③简单几何体的侧面积就是它侧面展开图的面积.

二、执图探法

1、圆柱、圆锥、圆台面积的探究

教师指导学生展开讨论，并找学生代表分别陈述自己对于圆柱、圆锥和圆台的侧面积的认识和面积计算公式的思考．

课件展示圆柱、圆锥、圆台的展开过程：

总结：① ，其中r为底面半径, l为侧面母线长。

② ，其中r为底面半径, l为侧面母线长。

③ ，其中r1,  r2 底面半径, l为侧面母线长。

④

思考：圆柱、圆锥、圆台侧面积之间的关系如何？

    圆柱可看作是上下底面全等的圆台；圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台。圆柱和圆锥的侧面积公式是由圆台的侧面积公式特殊化得到的。

2、直棱柱、正棱锥和正棱台的面积探究

 师：在得到了明确了旋转体的侧面积求法，接下来我们就来看看直棱柱、正棱锥和正棱台的面积求法．像上面一样我们仍然请同学为我们讲述一下自己的想法．

 生：……（据图讲出自己的理解）

 师：根据同学的讲述，由课件展示，我们不难得到 ：

 ① ，其中c为底面周长 ，h为高。

 ② ，其中c为底面周长 ，为斜高 ，即侧面等腰三角形的高。

 ③，，c分别为上下底面周长，为斜高，即侧面等腰梯形的高。

思考：比较直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积计算公式联系与区别．

           上下底面全等              上底面为一点

    说明：在简单几何体侧面积的教学中，通过课件展示柱、锥和台体的侧面积，将立体图侧面积转化为简单平面图形面积求法．既直观又易理解，所得的公式不要求记忆．但是一定要让学生理解公式，明确公式中字母对应的柱、锥和台体的量．这样有利于知识的迁移．

 例1：一个圆柱形的锅炉，底面直径d=1cm，高h=2.3m，求锅炉的表面积．（保留2个有效数字）

 例2：圆台的上下底面的半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留л）．

三、课堂练习

 1、圆台的上底半径为3 cm，下底半径为6 cm，母线长为6 cm，则圆台的侧面积为（   ）

 2、正六棱柱的高为3,底面边长为2,则正六棱柱表面积是（   ）

 3、圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为 (　)                                                                   

    A．6π(4π＋3)               B．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)

    C. 8π(3π＋1)               D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)

     4、一个正三棱台的上下底面边长分别为3厘米和6厘米，高1.5 cm．求三棱台的侧面积．

四、课堂总结

    1、柱体、锥体、台体的侧面积是它们展开图的面积,因此在求侧面积时要看清楚侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系。

2、柱体、锥体与台体侧面积之间的联系。

3、对于台体的问题,重现“还台为锥”的思想方法。

五、布置作业

 1、练习3；   2、习题1-7A组7,10

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