初中数学《1.2 一元二次方程的解法》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1、直接开平方法

　　利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根， 
       

　　2、配方法

　　配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

　　3、公式法

　　公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

　　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：

　　公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

　　4、因式分解法

　　因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

　　分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。

视频教学：

练习：

1．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x²﹣4x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣3       B．a≠1       C．a＞﹣3且a≠1       D．a≥﹣3且a≠1

2．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（　　）

A．x＝1       B．x₁＝1，x₂＝2      

C．x₁＝，x₂＝       D．x₁＝﹣1，x₂＝2

3．用配方法解方程x²﹣6x﹣7＝0，可变形为（　　）

A．（x+3）²＝16       B．（x﹣3）²＝16       C．（x+3）²＝2       D．（x﹣3）²＝2

4．用配方法解方程2x²﹣4x＝8时，原方程变形为（　　）

A．（x﹣1）²＝5       B．（x﹣1）²＝9       C．（x﹣2）²＝10       D．（x﹣2）²＝12

5．用公式法解方程3x²﹣2x﹣1＝0时，正确代入求根公式的是（　　）

A．x＝      

B．x＝      

C．x＝      

D．x＝

课件：

教案：

教学目标

1、了解形如（x＋m）²= n（n≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法

2、会用直接开平方法解一元二次方程

教学重点：会用直接开平方法解一元二次方程

教学难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系

教学过程

一、情境引入：

1. 我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：若x²=a，则x叫做a的平方根。记作x=，即x=或x=。

如：9的平方根是±3，的平方根是

平方根有下列性质：

(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；

(2)零的平方根是零；     

(3)负数没有平方根。

2如何解方程（1）x²=4，（2）x²-2=0呢?

二、探究学习：

1．尝试：

（1）根据平方根的意义， x是4的平方根，∴x＝±2

即此一元二次方程的解（或根）为：x₁=2，x₂ =－2

（2）移项，得x²=2

根据平方根的意义， x就是2的平方根，∴x=

即此一元二次方程的解（或根）为：x₁=，x₂ =

2．概括总结．

什么叫直接开平方法？

像解x²=4，x²-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x²=a（a≥0）或（x+h）²=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解

3.概念巩固：

已知一元二次方程mx²+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（      ）

A.n=0    B.m、n异号    C.n是m的整数倍      D.m、n同号

4.典型例题：

例1解下列方程

（1）x²-1.21=0         （2）4x²-1=0

解：（1）移向，得x²=1.21          （2）移向，得4x²=1

∵x是1.21的平方根            两边都除以4，得x²= 

∴x=±1.1                       ∵x是的平方根

即  x₁=1.1，x₂=-1.1                ∴x=

即x₁=，x₂=

例2解下列方程：

⑴  （x＋1）²= 2                ⑵  （x－1）²－4 = 0

⑶  12（3－2x）²－3 = 0

分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可。

解：（1）∵x+1是2的平方根

∴x+1=

即x₁=-1+，x₂=-1-

（2）移项，得（x-1）²=4

∵x-1是4的平方根

∴x-1=±2

即x₁=3，x₂=-1

(3)移项，得12（3-2x）²=3

两边都除以12，得（3-2x）²=0.25

∵3-2x是0.25的平方根

∴3-2x=±0.5

即3-2x=0.5,3-2x=-0.5

∴x₁=，x₂=

例3解方程(2x－1)²=(x－2)²      

分析：如果把2x-1看成是（x-2）²的平方根，同样可以用直接开平方法求解

解：2x-1=

即2x-1=±（x-2）

∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2

即x₁=-1，x₂=1

5.探究：（1）能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？

如果一个一元二次方程具有（x＋h）²= k（k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。

（2）用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解

(3)任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明

6.巩固练习：

（1）下列解方程的过程中，正确的是（  ）

①x²=-2,解方程，得x=±           

②(x-2)²=4,解方程，得x-2=2,x=4

③4(x-1)²=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x₁=;x₂=

④(2x+3)²=25,解方程，得2x+3=±5, x₁= 1;x₂=-4

（2）解下列方程：

        ①x²=16  ②x²-0.81=0   ③9x²=4  ④y²-144=0

（3）解下列方程：

①（x-1）²=4         ②（x+2）²=3

③（x-4）²-25=0      ④（2x+3）²-5=0

⑤（2x-1）²=（3-x）²

（4）一个球的表面积是100cm²，求这个球的半径。（球的表面积s=4R²，其中R是球半径）

三、归纳总结：

1、不等关系在日常生活中普遍存在.

2、用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.

3、列不等式表示不等关系.

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