初中数学《1.4 用一元二次方程解决问题》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

一元二次方程的实际应用

利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性。

列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答。

审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；

设：设元，也就是设未知数；

列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；

解：解方程，求出未知数的值；

验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；

答：写出答语．

相等关系的寻找应从以下几方面入手：

①分清本题属于哪一类型的应用题：如行程问题，则其基本数量关系应明确（vt=s）；

②注意总结各类应用题中常用的等量关系：如工作量（工程）问题，常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）；

③注意语言与代数式之间的转化：题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式；

④从语言叙述中寻找相等关系：如甲比乙大5应理解为 “甲=乙＋5”等。

⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系。

视频教学：

练习：

1．在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm²，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( )．

A．x²+130x-1400＝0 B．x²-65x-350＝0 C．x²-130x-1400＝0 D．x²+65x-350＝0

2．某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（　　）

A．100（1+x） B．100（1+x）² C．100（1+x²） D．100（1+2x）

3．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )．

A．50(1+x)²＝182 B．50+50(1+x)+50(1+x)²＝182

C．50(1+2x)＝182 D．50+50(1+x)+50(1+2x)＝182

4．一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm，它就变成正方形.则矩形面积是( )．

A． B． C． D．

5.用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm²的长方形，a的值不可能为（　　）

　 A．20 B． 40 C． 100 D． 120

课件：

教案：

课题	课型	课时	执教
一元二次方程的应用（2）	新授	1
教学目标	1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实生活中某些问题的一个有效模型。 2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，探索问题中的数量关系，并能用一元二次方程对之进行描述。
教学重点	学会列方程的方法解决有关连续两次增长或降低百分率问题。
教学难点	在连续两次增长或降低百分率问题中数量关系的确定。
教学方法	探索、合作、交流
教学内容	教师导学过程	设计意图
复习旧知	用一元二次方程解决应用题的基本步骤？其中最关键是哪一步？	学生回答问题，掌握解应用题的一般步骤。
知识准备	⑴一商店5月1日销售某种玩具数量为900件，问题：①若日销售量平均每天增长10%，则2日的销售量是；3日的销售量是； ②若日平均销售率的增长率均为x，则2日的销售量是；3日的销售量是； ⑵某商品四月份的售价为250元，问题：①若平均每月售价降低10％，则5月的售价是元；6月的售价是元。 ②若平均每月的售价降低的百分率为x，则5的售价是元；6月的售价是元。 (3)某商品4月份的售价是250元，问题：①若5月比4月增长5％,6月比5月增长10％，则6月售价是元. ②若5月比4月增长的百分率为x，6月比5月增长的百分率是5月比4月增长的百分率的2倍，则6月的售价是元．	学生答题（1） ①990；1089 ②900(1+x) ； 900(1+x)2 （2） ①225 ；202.5 ②250(1-x) ； 250(1-x⁾² 初步让学生感受连续两次增长相同百分率和连续两次降低相同百分率问题，并从具体数字抽象到用字母表示数。（3） ①288.75 ②250(1+x)(1+2x）对于两次增长率不同的问题也需要掌握，让学生对比感受（3）与（1）（2）的不同。
新知探究	例1：上海世博园推出的一种世博套餐，原价为每份64元，经过两次降价，现售价为每份36元，求平均每次降价的百分率。例2：某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，第二第三年共造林375亩，后两年平均的增长率是多少？例3：商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36%．问平均每月降价百分之几？	通过三个典型问题引导学生学会分析问题，学习将实际问题转化为数学问题，建立一元二次方程组模型来解决问题。
①为计算简便、直接求得，可以直接设增长（减少）的百分率为x； ②认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系； ③能用直接开平方法解的方程则不要将括号展开，这样不易解错； ④若题中没告诉原来的量，则把原来的量看成单位１．	经历三个例题的解决过程，同学们已经慢慢地积累了一些关于增长率问题的解题经验。引导学生一起总结其中的几个注意点。
课内反馈	1.某商品两次价格上调后，单位价格从4.05元变为5元，设每次调价的百分比均为x，则所列方程为 . 2.某市计划用两年的时间把工业产值翻两番，设每年平均增长率为x，若原来产值为１，则现在产值为，所列方程为．某钢铁厂产量经过两年增长了69%，设每年的平均增长率为x，则所列方程为． 4.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率． 5.某企业成立3年来，累计向国家上缴利税280万元，其中第一年上缴40万元，求后两年上缴利税的年平均增长的百分率。	及时巩固所学知识，深化学生对知识的理解和应用。
思维拓展	某农场去年种了10亩地南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg.求南瓜亩产量的增长率？	通过思维拓展环节让学生的解决问题的能力得到提升，有利于更好的内化知识。
总结提升		思想方法的渗透：转化思想建模思想方程思想
通过本节课的学习你有哪些收获与感想？	学生各抒已见，提升学生总结能力和语言表达能力，帮助学生更好的将所学知识纳入知识结构。
作业布置	完成学案同步练习	课后巩固知识
教学反思	本节课的主要内容是以列一元二次方程解应用题为中心，深入探究连续两次增长和降低百分率问题，活动侧重点是列方程解应用题，提高学生应用方程分析解决问题的能力，活动中涉及了一元二次方程的解法、列方程解应用题的一般规律等。这些问题在现实生活中有许多原型，让学生理解增长率问题可以用一元二次方程作为数学模型，从而使问题得到解决。分析和解决问题的关键在于找出问题中的相关数量之间的相等关系，并让这样的关系“翻译”成一元二次方程。本节课重点引导学生严格审题，弄清各种数据的相互关系，正确布列方程，培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法，教会学生在解方程时注意巧算，注意方程两根的取舍。在教学过程中发现学生对于根据数量关系正确列出方程以及在解方程上还有一些困难，需要后期继续辅导和练习，加强基础。