初中数学《9.4 乘法公式》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

平方差公式：

1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。

3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。

4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成

（a+b）？(a-b)的形式，然后看a2与b2是否容易

完全平方公式：

1、(a±b)=a±2ab+b即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。

视频教学：

练习：

1.下列去括号正确的是（    ）           

A. a-（b-c）=a-b-c                                               B. x²-[-（-x+y）]=x²-x+y
C. m-2（p-q）=m-2p+q                                      D. a+（b-c-2d）=a+b-c+2d

2.在式子①(-2y-1)²；②(-2y-1)(-2y+1)；③(-2y+1)(2y+1)；④(2y-1)²；⑤(2y+1)²中相等的是(   )           

A. ①④                                     B. ②③                                     C. ①⑤                                     D. ②④

3.下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（    ）.           

A.           B.           C.           D. 

4.如图所示的是4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（），请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是（    ）

A. x+y=7                            B. x-y=2                            C. x²+y²=25                            D. 4xy+4=49

5.一个长方形的面积为x²﹣2xy+x，长是x，则这个长方形的宽是（   ）           

A. x﹣2y                               B. x+2y                               C. x﹣2y﹣1                               D. x﹣2y+1

课件：

教案：

一、教材分析

   “平方差公式”是苏教版七年级数学（下册）第九章《从面积到乘法公式》的教学内容，是学习了整式的乘法运算后为了简化计算而归纳的一个公式，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式归纳、总结；是从一般到特殊的认识过程的范例，也是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础。它的依据是多项式乘以多项式法则以及合并同类项法则。

   “平方差公式”这一内容属于数学再创造活动的结果，教材为学生在数学活动中获得数学思想方法、提高能力提供了良好的契机，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用，因此，是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，是让学生感悟换元思想，感受数学再创造的好教材。

二、教学目标

知识目标：会推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行计算。

能力目标：通过平方差公式的运用，培养学生运用公式的能力、分析、综合和概括能力。

情感目标：培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的思维能力，让学生在合作探究的学习过

          程中体验成功的喜悦，培养学生善于观察、大胆创新的思维品质。

三、教学重点

    掌握公式的结构特征，并学会正确运用公式。

四、教学难点

理解平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式。

五、教学问题诊断分析

    1.学生刚学过多项式乘法，已经具备学习和运用平方差公式的知识结构。

    2.多项式相乘的形式复杂多变，学生较容易被假象所迷惑；学生学习能力也参差不齐，部分学生对多项式相乘

还不够熟练和细心。

    3.学生的基础能力存在差异，在猜想过程中分不同层次，请学生大胆地猜测出公式，并对公式有一个直观的认识。

    4.为突破难点，可采用小组合作、先体验后归纳的教学方式，使学生从中感悟换元和数形结合的数学思想。

    5.大部分学生都能通过探索小结出平方差公式的特点，但在具体的问题中，还是有些同学会“判断失误”，关键在于要抓住平方差公式的本质。在完成练习后，应该及时小结平方差公式应用的前提。

六、教学设备

校园网、多媒体投影等

七、教学过程

（一）创设情境，快乐起航

    灰太狼开了租地公司,他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗?学习了本节课的知识，你将能轻松地解决．

【师生活动】学生思考，琢磨究竟。

【设计意图】

课程标准：了解公式的几何背景，并能利用公式解决实际问题。

评价细则：能够主动参与学习活动，激发对数学学习的兴趣。

达成策略：从生活中的实例引入，一是激发学生求知兴趣；二是为说明平方差公式的几何意

          义做好铺垫．

（二）自主探索，获取新知

    问题1：你能用多种方法来计算阴影部分的面积吗？

（法一）

（法二）

（法三）

         2、数形结合，代数说理

3、总结提炼，公式归纳

文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.

符号语言：

【设计意图】

课程标准：能推导平方差公式：（a+b）(a-b)=a²-b²

评价细则：通过多项式的乘法法则践行猜想，让感知得到到理性的检验，体现数学学科思维

          的严谨，让合情推理与演绎推理完美并进，进而准确的用数学语言表述公式．

达成策略：展现成果，由旧获新，收获方法，突出重点，培养学生的观察概括能力及用字母

          表示数的能力，充分发挥学生的主体作用。

思考：你现在能向慢羊羊村长解释他为什么吃亏了吗？

【师生活动】教师引导学生分析，揭示故事的实质

【设计意图】

课程标准：了解公式的几何背景，并能利用公式解决实际问题

评价细则：让学生用面积相等来证明平方差公式，渗透数形结合思想，培养学生多角度思考

          问题的习惯，提高其逻辑思维能力。

达成策略：熟悉公式，加深对公式结构特征的理解，体会公式在计算中的优越性以及运用公

          式的注意点。

4、剖析公式，揭示本质

思考：平方差公式的结构有何特征？

【设计意图】

【师生活动】学生分小组讨论，每组派代表交流结论。教师根据学生回答，及时总结，引导学生进一步明确公式的特点。

【设计意图】

课程标准：能推导平方差公式：（a+b）(a-b)=a²-b²

评价细则：揭示公式的结构特征，是学生理解公式、进而灵活运用公式解决问题的前提条件．

          让学生自主辨析、合作交流、共同总结得以明晰，体现了学生学习的主动性。

达成策略：探索平方差公式的特点，揭示平方差公式的本质，强调平方差公式应用的前提。

          加强对公式结构的认识，帮助学生总结问题解决过程中的经验教训，理顺思路，

          从而进一步完善学生的认知结构。

（三）例题示范，内化新知

例1-1：下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如果能够,请用计算出结果

（1）（a+b）（-a-b）

（2）（a-b）（b-a）

（3）（-2x+y）（-y-2x）

【师生活动】学生独立思考，然后讨论交流，发表见解。一学生解答。

【设计意图】

课程标准：了解平方差公式的实质。

评价细则：剖析a、b的广泛含义为目的，认清公式的结构特征

达成策略：设计此题旨在将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b

          的含义，举一反三，加深对字母含义广泛性的理解，在后面公式的运用中相信学

          生会更加得心应手．

例1-2：

（a+b)(a-b）	a	b	a2-b2	最后结果
(2x+3y)(2x-3y)
(-2x+3y)(2x+3y)
(-2x-3y)(2x-3y)

小结：（1）利用平方差公式计算的关键是                                  

（2）怎样确定a与b                                                

【师生活动】先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路。

【设计意图】

课程标准：熟练掌握平方差公式。

评价细则：通过辨析训练，提高学生的认知水平，培养其解决问题的能力。

达成策略：对学生常出现的错误，进行预设，防微杜渐．

例2：运用平方差公式计算

（1）(5x+y)(5x-y)            （2）(-x+3y)(-x-3y)           （3）(-2x-y)(2x-y)

小结：运用平方差公式时要注意：先判断，找出题中的a与b,；结果是平方差，顺序不要颠倒；注意系数指数的变化

例3：在下列括号内填上合适的整式

（1）(______)(3m+5n)=9m²-25n²

（2）(-2a-5b)(______)=4a²-25b²

（3）(______)(5a+1)=1-25a²

（4）(7x²-3y²)(3y²+____)=49x⁴-____

关键：从已知项中分析得出相同项和相反项

例4：利用平方差公式计算：

（1）103×97                               （2）       

【师生活动】先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许学生运用多种算法，然后通过比较，优化算法。

【设计意图】

课程标准：能够应用平方差公式进行简便运算。

评价细则：通过转化，利用公式计算，体会平方差公式的便捷．

达成策略：通过变式训练，提高学生的认知水平，培养其解决问题的能力。

（四）巩固强化，思维延伸

1、利用平方差公式计算

（1）                                    （2）(a-b+c)(a+b-c)

练一练：（1）(x-y)(x+y)(x²+y²)               （2）(a-b+c)(a-b-c)

2、美羊羊同学在计算（2+1)(2²+1)(2⁴+1)时，将积式乘以（2-1）得：

解：原式 = (2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)

=  (2²-1)(2²+1)(2⁴+1)

=  (2⁴-1)(2⁴+1)

=  2⁸-1

你能从她的做法得到启发求出(3+1)(3²+1)(3⁴+1)的值吗？

【师生活动】学生独立思考完成练习，一学生解答，教师根据学生回答，及时总结，引导学生进一步巩固公式的应用。

【设计意图】

课程标准：熟练掌握平方差公式的形式，并能灵活运用公式解决问题。

评价细则：通过变式训练，让学生学会逆向思维和发散思维，从而加强学生对公式结构特征

          的理解，连续使用平方差公式是对公式应用的拓展与提高。

达成策略：设计不同形式的问题，考察学生对平方差公式的理解与应用．对学生的学习效果

          进行检测，给学生自我评价的机会，对“教”与“学”及时反馈．师生一起查漏

          补缺，扬长避短，自我完善。

（五）课堂小结，巩固提高。

（1）本节课你学到了什么数学知识？

     （a+b）（a-b）=a²-b²

（2）平方差公式的结构特征是什么？

左边：两个因式中一定有相同项和相反项；

右边：相同项的平方减去相反项的平方．

（3）本节课你感悟到哪些数学思想方法？（转化、数形结合）

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