初中数学《10.2 二元一次方程组》微课精讲+知识点+教案课件+习题

班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

二元一次方程组

（1）二元一次方程组的概念

由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。

注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程）。

（2）二元一次方程组的解

二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。

（3）二元一次方程组的解法

a.代入消元法

代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。

通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法。

步骤：

①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y = ax + b 的形式；

② y = ax + b 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出 x 的值；

④回代求解：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值，从而得出方程组的解。

b.加减消元法

加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一。加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法。

步骤：

①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；

②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值。

加减消元方法的选择：

一般选择系数绝对值最小的未知数消元；

当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；

某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；

当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解。

视频教学：

练习：

1．下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　)

A.x＋y＝4，11y)＝9 B.x＋y＝5，y＋z＝y)

C.x＝1，3x－2y＝6) D.x－y＝xy，x－y＝1)

2．下列方程组中是二元一次方程组的有(　　)

①3x－y＝0，y＝2x＋1；)②6x＋y＝0，x2＋2y＝1；)③3x＋4y＝5，2x＋1＝z；)

④x＝2，y＝1.)

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3．若方程组5x－3y＝7，y＋az＝4)是二元一次方程组，则常数a的值为________．

知识点 2　二元一次方程组的解

4．下列4组数值中，是二元一次方程组2x－3y＝－8，x＋2y＝3)的解的是(　　)

A.x＝2，y＝4) B.x＝1，y＝1) C.x＝－1，y＝2) 　D.x＝1，y＝2)

5．若方程组ax＋y＝0，x＋by＝1)的解是x＝1，y＝－1，)则a，b的值分别是(　　)

A．1，0 B．1，12 C．－1，0 D．0，0

6．有3对数：①x＝2，y＝2；)②x＝－1，y＝－9；)③x＝3，y＝－1.)在这3对数中，________是方程组3x＋y＝8，2x－y＝7)的解．(填序号)

7．试写出一个以x＝3，y＝－1)为解的二元一次方程组：________________.

知识点 3　由实际问题抽象出二元一次方程组

8．小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，用了28元．设每支中性笔x元，每盒笔芯y元，根据题意下面所列方程组正确的是(　　)

A.2x＋20y＝56，2x＋3y＝28) B.20x＋2y＝56，2x＋3y＝28)

C.20x＋2y＝28，2x＋3y＝56) D.2x＋2y＝28，20x＋3y＝56)

课件：

教案：

年级班级		学科
课题	10.2二元一次方程组	第_______________课时
教学目标	1．在实际情境中理解二元一次方程组的概念，了解二元一次方程组是一种有效数学模型； 2．了解二元一次方程组解的概念，并会判断一组数是否是某个二元一次方程组的解； 3．经历二元一次方程组解的意义的建构过程，初步感受集合思想．
教学重点	二元一次方程组模型的建立、二元一次方程组的概念．
教学难点	二元一次方程组的概念．
教学设计意图	“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》中的名题，暗示着我国古代数学的杰出成就．它不仅趣味性强，而且“鸡兔同笼”问题可以用简单计算、利用一元一次方程等多种方法求解，但用二元一次方程组求解是最为直接的方法．

（教学过程与方法可复制多页填写）

	主要教学过程（含教师课堂活动、学生课堂活动、设计意图说明等）	修改意见（二次备课）
	情景导入： “鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》中的第31题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？” 教师启发：你有几种方法能解决这个问题？学生独立思考，在教师的引导下将实际问题转化为数学问题．（1）算术方法；（2）列一元一次方程求解．	“鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》中的名题，暗示着我国古代数学的杰出成就．它不仅趣味性强，而且“鸡兔同笼”问题可以用简单计算、利用一元一次方程等多种方法求解，但用二元一次方程组求解是最为直接的方法．
教学过程与方法	提问：问题一：问题中的量有哪些相等关系？问题二：你能用数学式子表达吗？ 1．“上有35头”，指鸡、兔共35只，有相等关系（1）： “鸡的只数＋兔的只数＝35（只）” 2．“下有94足”，指鸡的腿与兔的腿共有 94条，有相等关系（2）： “鸡腿的条数＋兔腿的条数＝94（条）” 设鸡有x只，兔有y只，则有，，这里的两个方程中的x、y分别是同一个数值，即x、y同时满足两个方程，故将这两个方程联立在一起，可写成	引导学生在经历多种方法解决实际问题的过程中，体验方法的优化给解决问题带来的好处，也体现“数学来源于生活，又服务于生活”的理念．
	实践探索：问题　你所联列的这个形式有哪些特点？你能模仿这样的形式再写几个吗？先观察，独立思考，再分组讨论交流．发现：含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组．	通过观察、思考、分析两个方程的特点，使学生经历概念的归纳和概括的过程，引导学生深层次地参与到概念的形成过程中．
	例1　下列方程组是二元一次方程组吗？并说明理由．（1）（2）（3）（4）根据二元一次方程组的概念，学生口答．	通过练习使学生巩固二元一次方程组的概念，把握住概念的本质．
	实践探索：小明在做摸球游戏，现摸到1个红球，3个绿球，共得11分，你知道摸到1个红球得多少分？1个绿球得多少分？再摸一次，又摸到了3个红球，2个绿球，共得12分．你知道摸到1个红球、1个绿球各得多少分？生：不能确定！生：应该可以确定．	“摸球”问题意在激起学生解决问题的欲望，根据题意列出方程组后，仍用枚举的方法找出方程组中两个方程的公共解，继而引出二元一次方程组的解的概念．
	实践探索：问题一　问题中的量满足怎样的相等关系？问题二　根据上面的方程组，请你猜一猜，“摸到红、绿球得分”问题的答案．你用了什么方法？问题中的量应同时满足以上两个相等关系．如果设摸到1个红球得x分，摸到1个绿球得y分．那么可以得到方程：，．因而将这两个方程组成二元一次方程组：方程（1）的解是 …… 方程（2）的解是 …… 可以看出是这两个方程的公共解，我们把二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．因此，我们知道，摸到1个红球得2分， 1个绿球得3分．	学生独立思考列出方程，找出方程的解，结合实际问题逐步体会二元一次方程组的概念．引导学生运用尝试枚举法求二元一次方程整数解，培养思维全面性．由实际问题引导学生开始对二元一次方程组解的概念的探索．学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程组的解的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于学生对概念的理解．
	例2你能求出“鸡兔同笼”问题中二元一次方程组的解吗？学生独立思考，找出方程组的解．解答这个题目，一方面提高利用概念分析解答问题的能力，同时进一步体会涉及多个未知量的问题是广泛存在的，	体会学习二元一次方程组的必要性，激发学生探究二元一次方程组解法的积极性．
	练习：课本P97-98练一练1、2、3题．学生独立做．（1）展示错误资源；（2）师生共同探讨．	通过形式不同的练习，从不同的角度帮助学生进一步加深对相关观念的理解，形成初步技能．
	能力检测：甲种饮料每瓶2.5元，乙种饮料每瓶1.5元，某人买了x 瓶甲种饮料，y瓶乙种饮料，共花了34元．（1）列出关于x、y的二元一次方程；（2）如果甲种饮料和乙种饮料共买16瓶，列出关于x、y的二元一次方程组，并找出它的解．学生当堂完成．	限时训练，主要是对本节课所学知识的终结性评价．
	小结：通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．	通过对几个问题的思考引导学生回顾自己的学习历程，梳理主要知识、方法，构建知识体系．
	板书设计	含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组．
	作业设计	课本P98习题10.2第1、2、3、4题．
	教学反思	做练习时不仅要得出结论还要说明理由，借此进一步加深对概念的理解．