高中数学《1.1.1 集合及其表示方法》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

语文	数学	英语	物理	化学
生物	史地	政治	道德与法治
美术	音乐	科学	全部课程 ↓

知识点：

1、集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，其中互异性的应用比较广泛，是重点。

互异性，即集合中的元素互不相同。

何时验证互异性：用列举法表示的集合，当集合中的元素含有字母的时候，求出字母的值后，一定要验证互异性。

验证的方法是：把字母的值带入集合，如果集合中有相同的元素，则此值不合题意，应舍去，反之，此值符合题意。

2、常用数集及记法

N表示自然数集；N*或N+表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集。

3、元素与集合间的关系

对象a与集合M间的关系是：若a在集合M中，则a属于M，若a不在集合M中，则a不属于M。

4、集合的表示法

①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在一个大括号内，就表示一个集合，例如集合：{1,2,3,4}。

②描述法：{代表元素|代表元素满足的条件}，例如集合：{x|x＞0}。

遇到描述法表示的集合，一定要先弄明白代表元素的含义。

例如：集合{x|ax﹣1＝0}，代表元素是x，x是方程ax﹣1＝0中的未知数，所以这个集合中的元素就是方程ax﹣1＝0的解。

③图示法：用数轴和韦恩图来表示集合，常在需要使用数形结合的解题过程中使用。

5、集合的分类

含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集；不含有任何元素的集合叫空集。

视频教学：

练习：

1.用符号“”或“”填空：

（1）；（2）；（3）;

（4）; （5）；（6）.

2.下列的集合中，哪些是有限集？哪些是无限集？

（1）使得式子有意义的所有实数组成的集合；

（2）使得式子有意义的所有自然数组成的集合；

（3）方程的所有实数解组成的集合.

3.用列举法表示下列集合：

（1）我国古代四大发明组成的集合；

（2）大于2且小于15的所有素数组成的集合；

（3）.

4.用描述法表示下列集合：

（1）小于1500的正偶数组成的集合；

（2）所有矩形组成的集合.

课件：

教案：

整体设计

教学分析　　　　　

教材借助实例给出了集合的表示方法——列举法和描述法，这是用集合语言表达数学对象所必需的基本知识．教学中要注意引导学生，通过实例，从观察分析集合的元素入手，选择合适的方法表示集合．注意引导学生区分两种表示集合的方法．学习集合语言最好的方法是运用．在教学中，要创造机会让学生运用集合的特征性质描述一些集合，如数集、解集和一些基本图形的集合等．

三维目标　　　　　

1．掌握集合的表示法——列举法和描述法，使学生正确把握集合的元素构成与集合的特征性质的关系，从而可以更准确地认识集合．

2．能选择适当的方法表示给定的集合，提高学生分析问题和解决问题的能力．

重点难点　　　　　

教学重点：集合的表示法．

教学难点：集合的特征性质的概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单的集合．

课时安排　　　　　

1课时

教学过程

推进新课　　　　　

as4alco1(新知探究)

as4alco1(提出问题)

①上节所说的集合是如何表示的？

②阅读课本中的相关内容，并思考：除字母表示法和自然语言之外，还能用什么方法表示集合？

③集合共有几种表示法？

活动：①学生回顾所学的集合并作出总结．教师提示可以用字母或自然语言来表示．

②教师可以举例帮助引导：

例如，24的所有正约数构成的集合，把24的所有正约数写在大括号“{}”内，即写出为{1,2,3,4,6,8,12,24}的形式，这种表示集合的方法是列举法．注意：大括号不能缺失；有些集合所含元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如：从1到100的所有整数组成的集合：{1,2,3，…，100}，自然数集N：{0,1,2,3,4，…，n，…}；区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素，a表示这个集合的一个元素；用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序，相同的元素不能出现两次．

又例如，不等式x－3＞2的解集，这个集合中的元素有无数个，不适合用列举法表示．可以表示为{x∈R|x－3＞2}或{x|x－3＞2}，这种表示集合的方法是描述法．

③让学生思考总结已经学习了的集合表示法．

讨论结果：①方法一(字母表示法)：大写的英文字母表示集合，例如常见的数集N、Q，所有的正方形组成的集合记为A等等；

方法二(自然语言)：用文字语言来描述出的集合，例如“所有的正方形”组成的集合等等．

②列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．

描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．注：在不致混淆的情况下，也可以简写成列举法的形式，只需去掉竖线和元素代表符号，例如：所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}．

③表示一个集合共有四种方法：字母表示法、自然语言、列举法、描述法．

as4alco1(应用示例)

思路1

例1 用列举法表示下列集合：

(1)A＝{x∈N|0＜x≤5}；(2)B＝{x|x²－5x＋6＝0}．

解：(1)A＝{1,2,3,4,5}；(2)B＝{2,3}．

点评：本题主要考查集合表示法中的列举法．通过本题可以体会利用集合表示数学内容的简洁性和严谨性，以后我们尽量用集合来表示数学内容．

如果一个集合是有限集，并且元素的个数较少时，通常选择列举法表示，其特点是非常明显地表示出了集合中的元素，是常用的表示法．

列举法表示集合的步骤：(1)用字母表示集合；(2)明确集合中的元素；(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内，并写成A＝{……}的形式.

变式训练

　用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程x²＝x的所有实数根组成的集合；

(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．

活动：学生先思考或讨论列举法的形式，展示解答过程．当学生出现错误时，教师及时加以纠正．利用相关的知识先明确集合中的元素，再把元素写入大括号“{}”内，并用逗号隔开．所给的集合均是用自然语言给出的．

提示学生注意以下方面：

(1)自然数中包含零；

(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法，方程x²＝x的根是x＝0，x＝1；

(3)除去1和本身外没有其他约数的正整数是质数，1～20以内的所有质数是2、3、5、7、11、13、17、19.

解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．

(2)设方程x²＝x的所有实数根组成的集合为B，那么A＝{0,1}．

(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.

例2 用描述法表示下列集合：

(1){－1,1}；

(2)大于3的全体偶数构成的集合；

(3)在平面α内，线段AB的垂直平分线．

解：(1)这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于1的实数，即|x|＝1.

于是这个集合可以表示为{x||x|＝1}．

(2)这个集合的一个特征性质可以描述为x＞3，且x＝2n，n∈N.

于是这个集合可以表示为{x|x＞3，且x＝2n，n∈N}．

(3)设点P为线段AB的垂直平分线上任一点，点P和线段AB都在平面α内，则这个集合的特征性质可以描述为PA＝PB.

于是这个集合可以表示为{点P∈平面α|PA＝PB}．

点评：描述法表示集合的步骤：(1)用字母分别表示集合和元素；(2)用数学符号表达集合元素的共同特征；(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．并写成A＝{…|…}的形式．描述法适合表示有无数个元素的集合．

注意：当集合中的元素个数较少时，通常用列举法表示，否则用描述法表示.

变式训练

　试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程x²－2＝0的所有实数根组成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．

分析：先让学生回顾列举法表示集合的步骤，思考描述法的形式，再找学生到黑板上书写．当学生出现错误时，教师指导学生书写过程．用描述法表示集合时，要用数学符号表示集合元素的特征．大于10小于20的所有整数用数学符号可以表示为10＜x＜20，x∈Z.(重点引导用描述法表示集合)

用描述法表示集合时，用一个小写英文字母表示集合中的元素，作为集合中元素的代表符号，找到集合中元素的共同特征，并把共同特征用数学符号来表达，然后写在大括号“{}”内，在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．在(1)中利用条件中现有元素代表符号x，集合中元素的共同特征就是满足方程x²－2＝0.在(2)的条件中没有元素代表符号，故要先设出，用一个小写英文字母表示即可；集合中元素的共同特征有两个：一是大于10小于20(用不等式表示)，二是整数(用元素与集合的关系符号“∈”来表示)．

解：(1)设方程x²－2＝0的实根为x，它满足条件x²－2＝0，因此，用描述法表示为

A＝{x∈R|x²－2＝0}．

方程x²－2＝0的两个实数根为2，－2，因此，用列举法表示为

A＝{2，－2}．

(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20，因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10＜x＜20}．

大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

思路2

例1 用列举法表示下列集合：

(1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)方程x²－9＝0的解组成的集合；

(4){15以内的质数}；[来源:Zxxk.Com]

(5){x|63－x∈Z，x∈Z}．

活动：教师指导学生思考列举法的书写格式，并讨论各个集合中的元素．明确各个集合中的元素，写在大括号内即可．

提示学生注意：[来源:Zxxk.Com]

(2)中满足条件的数通常按从小到大排列时，从第二个数起，每个数比前一个数大3；

(4)中除去1和本身外没有其他的约数的正整数是质数；

(5)中3－x是6的约数，6的约数有±1，±2，±3，±6.

解：(1)满足题设条件小于5的正奇数有1、3，故用列举法表示为{1,3}；

(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6、9、12，故用列举法表示为{6,9,12}；

(3)方程x²－9＝0的解为－3、3，故用列举法表示为{－3,3}；

(4)15以内的质数有2、3、5、7、11、13，故该集合用列举法表示为{2,3,5,7,11,13}；

(5)满足63－x∈Z的x有3－x＝±1、±2、±3、±6，解之，得x＝2、4、1、5、0、6、－3、9，故用列举法表示为{2,4,1,5,0,6，－3,9}．

点评：本题主要考查集合的列举法表示．列举法适用于元素个数有限个并且较少的集合．用列举法表示集合：先明确集合中的元素，再把元素写在大括号内并用逗号隔开，相同的元素写成一个.

变式训练

　用列举法表示下列集合：

(1)x²－4的一次因式组成的集合；

(2){y|y＝－x²－2x＋3，x∈R，y∈N}；

(3)方程x²＋6x＋9＝0的解集；

(4){20以内的质数}；

(5){(x，y)|x²＋y²＝1，x∈Z，y∈Z}；

(6){大于0小于3的整数}；

(7){x∈R|x²＋5x－14＝0}；

(8){(x，y)|x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}；

(9){(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}．

分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内．

解：(1)因x²－4＝(x－2)(x＋2)，故符合题意的集合为{x－2，x＋2}；

(2)y＝－x²－2x＋3＝－(x＋1)²＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0、1、2、3、4，

故{y|y＝－x²－2x＋3，x∈R，y∈N}＝{0,1,2,3,4}；[来源:Z#xx#k.Com]

(3)由x²＋6x＋9＝0得x₁＝x₂＝－3，∴方程x²＋6x＋9＝0的解集为{－3}；

(4){20以内的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}；

(5)因x∈Z，y∈Z，则x＝－1、0、1时，y＝0、1、－1，那么{(x，y)|x²＋y²＝1，x∈Z，y∈Z}＝{(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)}；

(6){大于0小于3的整数}＝{1,2}；

(7)因x²＋5x－14＝0的解为x₁＝－7，x₂＝2，则{x∈R|x²＋5x－14＝0}＝{－7,2}；

(8)当x∈N且1≤x＜4时，x＝1、2、3，此时y＝2x，即y＝2、4、6，

那么{(x，y)|x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{(1,2)，(2,4)，(3,6)}；

(9){(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}.

例2用描述法分别表示下列集合：

(1)二次函数y＝x²图象上的点组成的集合；

(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合；

(3)不等式x－7＜3的解集．

活动：让学生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐标系中的点，如何表示数轴上的点，如何表示不等式的解．学生板书，教师在其他学生中间巡视，及时帮助思维遇到障碍的同学．必要时，教师可提示学生：

(1)集合中的元素是点，它是坐标平面内的点，集合元素代表符号用有序实数对(x，y)来表示，其特征是满足y＝x²；(2)集合中元素是点，而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，集合元素代表符号用x来表示，其特征是对应的实数绝对值大于6；(3)集合中的元素是实数，集合元素代表符号用x来表示，把不等式化为x＜a的形式，则这些实数的特征是满足x＜a.

解：(1)二次函数y＝x²上的点(x，y)的坐标满足y＝x²，则

二次函数y＝x²图象上的点组成的集合表示为{(x，y)|y＝x²}；

(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为{x∈R||x|＞6}；

(3)不等式x－7＜3的解是x＜10，则不等式x－7＜3的解集表示为{x|x＜10}．

点评：本题主要考查集合的描述法表示．描述法适用于元素个数是有限个并且较多或无限个的集合．

用描述法表示集合时，集合元素的代表符号不能随便设，点集的元素代表符号是(x，y)，数集的元素代表符号常用x.集合中元素的公共特征属性可以用文字直接表述，最好用数学符号表示，必须抓住其实质.

变式训练

　用描述法表示下列集合：

(1)方程2x＋y＝5的解集；

(2)小于10的所有非负整数的集合；

(3)方程ax＋by＝0(ab≠0)的解；

(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合；

(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合；

(6)方程组x＋y＝1，x－y＝1)的解的集合；

(7){1,3,5,7，…}；

(8)x轴上所有点的集合；

(9)非负偶数；

　(10)能被3整除的整数．

解：(1){(x，y)|2x＋y＝5}；

(2){x|0≤x＜10，x∈Z}；

(3){(x，y)|ax＋by＝0(ab≠0)}；

(4){x||x|＞3}；

(5){(x，y)|xy＜0}；

(6){(x，y)|x＋y＝1x－y＝1)}；

(7){x|x＝2k－1，k∈N_＋}；

(8){(x，y)|x∈R，y＝0}；

(9){x|x＝2k，k∈N}；

(10){x|x＝3k，k∈Z}.

as4alco1(知能训练)

1．(口答)说出下面集合中的元素：

(1){大于3小于11的偶数}；

(2){平方等于1的数}；

(3){15的正约数}．

答案：

(1)其元素为4,6,8,10；

(2)其元素为－1,1；

(3)其元素为1,3,5,15.

2．方程ax²＋5x＋c＝0的解集是{12，13}，则a＝________，c＝________.

解析：方程ax²＋5x＋c＝0的解集是{12，13}，那么12、13是方程的两根，

即有(115a11ca)，得a＝－6，c＝－1，)那么a＝－6，c＝－1.

答案：－6　－1

3．用列举法表示下列集合：

(1)所有绝对值等于8的数的集合A；

(2)所有绝对值小于8的整数的集合B.

答案：(1)A＝{－8,8}；

(2)B＝{－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7}．

4．定义集合运算A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　)

A．0 B．6 C．12 D．18

解析：∵x∈A，∴x＝0或x＝1.

当x＝0，y∈B时，总有z＝0.

当x＝1时，

若x＝1，y＝2时，有z＝6；当x＝1，y＝3时，有z＝12.

综上所得，集合A⊙B的所有元素之和为0＋6＋12＝18.

答案：D

5．分别用列举法、描述法表示方程组3x＋y＝2，2x－3y＝27)的解集．

解：因3x＋y＝2，2x－3y＝27)的解为x＝3，y＝－7，)

用描述法表示该集合为{(x，y)|3x＋y＝22x－3y＝27)}；

用列举法表示该集合为{(3，－7)}．

as4alco1(拓展提升)[来源:学§科§网]

问题：集合A＝{x|x＝a＋2b，a∈Z，b∈Z}，判断下列元素x＝0、1
(2)－1、1
(3)－
(2)与集合A之间的关系．

活动：学生先思考元素与集合之间有什么关系，书写过程，将元素x化为a＋2b的形式，再判断a、b是否为整数．描述法表示集合的优点是突出显示了集合元素的特征，那么判断一个元素是否属于集合时，转化为判断这个元素是否满足集合元素的特征即可．

解：由于x＝a＋b2，a∈Z，b∈Z，

∴当a＝b＝0时，x＝0.∴0∈A.

又1
(2)－1＝2＋1＝1＋2，

当a＝b＝1时，a＋b2＝1＋2，∴1
(2)－1∈A.

又1
(3)－
(2)＝3＋2，

当a＝3，b＝1时，a＋b2＝3＋2，而3 Z，

∴1
(3)－
(2) A.[来源:学。科。网]

∴0∈A，1
(2)－1∈A，1
(3)－
(2) A.

点评：本题考查集合的描述法表示以及元素与集合间的关系．

as4alco1(课堂小结)

本节学习了：(1)集合的表示法；(2)利用列举法和描述法表示集合的步骤．

as4alco1(作业)

课本习题1—1A　2、3、4.

设计感想

集合的列举法和描述法的形式比较容易接受，在设计时注重让学生自己学习，重点引导学生学习这两种方法的应用．同时通过解决一系列具体问题，使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点；针对不同问题，能选用合适集合表示法．在练习过程中熟练掌握集合语言与自然语言的转换．教师在教学过程中时时监控，对学生不可能解决的问题，如集合常见表示法的写法，常见数集及其记法应直接给出，以避免出现不必要的混乱．对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨．引导学生养成良好的学习习惯，最大限度地挖掘学生的学习潜力是我们教师的奋斗目标．

备课资料

[备选例题]

例1 判断下列集合是有限集还是无限集，并用适当的方法表示．

(1)被3除余1的自然数组成的集合；

(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；

(3)二次函数y＝x²＋2x－10的图象上的所有点组成的集合；

(4)设a、b是非零实数，求y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|的所有值组成的集合．

思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类．用列举法与描述法表示集合时，一要分清元素是什么，二要明确元素满足的条件是什么．

解：(1)被3除余1的自然数有无数个，这些自然数可以表示为3n＋1(n∈N)．用描述法表示为{x|x＝3n＋1，n∈N}．

(2)由题意得满足条件的正整数有：3,5,7,11,13,17,19，则此集合中的元素有7个，用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}．

(3)满足条件的点有无数个，则此集合中有无数个元素，可用描述法来表示．通常用有序数对(x，y)表示点，那么满足条件的点组成的集合表示为{(x，y)|y＝x²＋2x－10}．

(4)当ab＜0时，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|＝－1；当ab＞0时，则a＞0，b＞0或a＜0，b＜0.