高中数学《2.1.1 等式的性质与方程的解集》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

等式的性质

1．对称性：若a=b，则b=a。

2．传递性：若a=b，b=c，则a=c。

3．可加性：若a=b，则a+c=b+c。

4．可乘性：若a=b，则ac=bc；若a=b，c=d，则ac=bd。

视频教学：

练习：

练习A

1.求下列方程的解集：

（1）；                   （2）；

（3）；                    （4）.

2.利用十字相乘法分解因式：

（1）;                         （2）.

3.求方程的解集.

4.求证：对任意的，都有.

5.已知“任意和，都有”是真命题，借助这个结论将进行因式分解.

练习B

1.将展开，并由此得到的展开式.

2.将展开，并由此得到的展开式.

3.利用十字相乘法分解因式：

（1）;                  （2）.

4.求关于的方程的解集，其中是常数.

5.已知集合，若，求实数的值.

课件：

教案：

教学课时：1课时

　　教学目标：

　　1.使学生学会用量词和逻辑语言呈现等式的性质；

　　2.训练学生掌握用集合呈现方程的解集；

　　3.使学生学会用“十字相乘法”分解因式；

　　4.让学生体会用符号语言表述，训练学生数学抽象.数学运算的学科素养.

　　教学重点：

　　从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集.

　　教学难点：

　　熟练使用“十字相乘法”分解因式.

　　教学过程：

　　一、复习回顾：

　　【学生活动1】

　　1.自己阅读书P42 —《本章导语》；

　　2.再举出两个描述相等关系和不等关系的例子.

　　【设计意图】

　　使学生体会到相等关系与不等关系是数量关系中的两种重要的类型，它们分别对应的等式与不等式，是代数基础知识的重要组成部分.除了汇总学生所举出的实例外，也可以补充些数学中的实例，如：

　　（1） 勾股定理：c²=a²+b²；

　　（2） 费马大定理：xⁿ+yⁿ=zⁿ(n>2，且n为整数）没有正整数解；

　　（3） 三角形两边之和大于第三边：a+c>b，a+b>c，b+c>a；

　　（4） 任何实数的平方非负：x²≥0.

　　【学生活动2】

　　3.回忆初中学习过哪些等式的性质；

　　4.用第一章学习过的量词和符号语言表达上述性质吗；

　　5.与同伴进行交流.

　　【设计意图】

　　回顾等式性质，为后面类比学习不等式性质做铺垫；复习第一章所学知识，学会自然语言与符号语言之间的转换；体会数学表达的简洁美.

　　二、讲授新课：

　（一）等式的性质：

	文学语言	符号语言
对称性	等式的左右两边交换位置，所得结果仍然是一个等式	如果a=b，那么b=a
传递性	和同一个等式相等的两个等式也相等(等量代换)	如果a=b，b=c那么a=c
四则运算性 质	等式两边同时加上(或减去）同一个数或代数式，等式仍成立	如果a=b，那么∀c，a±c=b±c
等式两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立	如果a=b，那么∀c≠0，a*c=b*c
等式两边同时除以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立	如果a=b，那么∀c≠0 ，=

　【学生活动3】

　　6.回答书中P43 — “尝试与发现”中的问题；

　　7.与同伴交流分类的标准.

　　【设计意图】

　　分类的标准可以有很多，可以帮助学生从多种角度认识等式；可以从量词的角度对等式进行分类.

　　（二）恒等式

　　含有字母的等式中，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称这样的等式为恒等式，也称等式两边恒等.

　　1、 平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)

　　2、 两数和的完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²

　　【学生活动4】

　　8.计算：(a-b)² 和(a+b+c)²；

　　9.思考上面两个等式是恒等式吗？运算结果与(a+b)²=a²+2ab+b²的关系是什么？

　　10.用发现的结论继续完成下面的计算：

　　（1）(a-b+c)²；（2）(a-b-c)²；（3）(a+b-c)²

　　【设计意图】

　　借助恒等式教学，复习和介绍一些常用的乘法公式，并从量词的角度帮助学生认识和记忆公式.事实上，在恒等式(a+b)²=a²+2ab+b²中，

　　用-b替换b，有：(a-b)²=a²-2ab+b²

　　用b+c替换b：(a-b+c)²=a²+2a(b+c)+(b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

　　例1 化简(2x+1)²-(x-1)².

解：(方法一）可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即

(2x +1)²-(x-1)²

= 4x²+4x+1-(x²-2x +1)

=3x²+6x .

(方法二）可以将2x +1和x-1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即

(2x +1)²-(x-1)²

=[(2x+1)+(x-1)][(2x+1)-(x-1)]

= 3x(x + 2) = 3x² +6x .

【设计意图】引导学生对比两种方法的优劣，培养学生选取适当方法进行运算的数学素养.

　　例2 （1）计算：(x-6)(x+1)

　　　（2）分解因式：x²+5x+6

　　【设计意图】对比恒等式两个方向的运算差别；讲解“十字相乘法”分解因式.

　　【练习1】（1）计算：(x-2)(x-3)

（2）分解因式：x²+5x-6

答案:例2(1)x²-5x-6; (2）(x+2)(x+3)

练习1(1)x²-5x+6;(2）(x＋6)(x-1)

　　（三）方程的解集

　　使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（或根）.

　　一个方程所有的解所组成的集合叫做这个方程的解集.

　　例3 求方程x²+5x+6=0的解集.

解：因为x²+5x+6=(x+2)(x+3)

所以原方程可以化为(x＋2)x＋3)=0，

从而可知x+2=0或x＋3=0，

即x= -2或x =-3，

因此方程的解集为{-2,-3}

　　【设计意图】练习“十字相乘法”；复习集合的表达，可以让学生比较“描述法”与“列举法”的不同表达.

　　【练习2】求下列方程的解集：

　　(1)x²-5x+6=0;  (2) x² -x-12=0;  (3）x²-2x+1=0

答案:（1）{2,3}  (2){4,-3} （3）{1}

【设计意图】巩固“十字相乘法”；熟练解集的表达；可根据学生情况增加适当的练习.

　　例4 求关于x的方程ax=2的解集，其中a是常数.

解：当a≠0时,在等式ax = 2两边同时乘以，得x =，此时解集为{}。

当a=0时，方程变为0x=2，这个方程无解，此时解集为Ø.

综上，当a≠0时，解集为{}，;当a=0时，解集为Ø.

【设计意图】此题可根据学生情况选做；熟悉分类讨论的方法；学会无解的表达为空集.

　　三、归纳总结：

　　1.等式的性质

　　2.恒等式

　　3.十字相乘法分解因式

　　4.方程的解集

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