高中数学《2.2.1 不等式及其性质》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。

① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。

2．不等式的性质：
① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：
(1) a>bb<a (对称性)

(2) a>b, b>ca>c (传递性)
(3) a>ba+c>b+c (c∈R)
(4) c>0时，a>bac>bc
c<0时，a>bac<bc。

运算性质有：
　　(1) a>b, c>da+c>b+d。
　　(2) a>b>0, c>d>0ac>bd。
　　(3) a>b>0an>bn (n∈N, n>1)。
　　(4) a>b>0>(n∈N, n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。

② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题：
(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。
(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。
(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

视频教学：

练习：

1.(多选)设为正实数，则下列命题为真命题的是(       )

A.若,

B.若,则

C.若,则

D.若，则

2.已知,则下列不等式中一定成立的是（       ）

A.       B.        C.       D. 

3.若均为不等于零的实数，条件甲：对任意的恒成立；条件乙：,则甲是乙 的（       ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知,记, ,则与的大小关系是(    )

A.        B.        C.        D.不确定

5.已知，,则 p与q的大小关系为（       )

A.       B.       C.       D. 

6.若,则下列结论中不正确的是(   )

A.        B.       C.        D. 

7.已知，则下列不等式一定成立的是(   )

A.        B.

C.        D. 

8.下列结论中正确的是（   ）

A.若，则

B.若，则

C.若，则 

D.若，则

课件：

教案：

【教学目标】

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

【教学重点】

比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。

【教学难点】

通过运用基本性质来证明不等式。

【教学过程】

一、新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明：

（i）设存在a，b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A，B，当A在点B的左边时，a与b有着怎样的大小关系？（a

（ii）设存在a，b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A，B，当A在点B的右边时，a与b有着怎样的大小关系？（a>b）

（iii）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a，b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>ba-b>0.

a<b< span="">a-b<0.< span=""></b<>

a=ba-b=0.

引导发问：当a>b（或a<b， a=b）时， a-b的差是什么结果？与0比较有怎样的关系？

由上述基本事实出发，引导学生可以用什么方法比较两个实数的大小关系？（提问学生）

总结：由上述基本事实可知，要比较两个实数的大小关系，可以转化为比较它们的差与0的大小，这是研究不等关系的出发点。

二、练习巩固

比较和的大小。（答案：> ）

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是做差比较法。

三、以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质？我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质？

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质？

回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。

由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质：

性质1：a>bb<a           </a（对称性）

性质2：a>b，b>ca>c      （单向传递性）

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质？尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>bac>bc

a>bac>bc

学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>bac>bc

性质4：a>b，c>0ac>bc

a>b，c<0< span="">ac

由此可以说明性质4中大小符号的变化与所乘的乘数有关，提醒学生注意。

说明不等式除了以上性质，还有其他的基本性质：

性质5：a>b>0

性质6：a>b>0

给学生演示性质5，6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号（是否大于0）。

四、推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。

性质3推论：

（i）如果a+b>c，那么a>c-b

（ii）如果a>b，c>d，那么a+c>b+d

（iii）如果a>b，c>d，那么a-d>b-c

对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论（i）（ii）的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论（iii）让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。

性质4推论：

（i）如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd

（ii）如果a>b>0，c>d>0，那么

让学生思考片刻证明过程，推论（i）让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。

推论（ii）由教师引导思考过程和方向：

要证，即证，在已知c>d>0的前提，问学生的证法。

学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。

让学生回答的证明过程：

由c>d>0，得出cd>0，c-d>0，， 则，

接着证明推论（ii）：

由a>0及性质4，得

由a>b>0， c>0，及性质4，得

由性质2得，。

【教学反思】

回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是做差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。

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