高中数学《2.2.4 均值不等式及其应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1. 基本不等式

，

若a>b>0，m>0，则；

若a，b同号且a>b，则。

2. 均值不等式：

两个正数的均值不等式：，变形式：，等。

3. 最值定理：设

（1）如果x，y是正数，且积，则x＝y时，

（2）如果x，y是正数，且和，则x＝y时，

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等。

视频教学：

练习：

1.已知为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(   )

A.       B.       C.       D.

2.若实数满足，则的最小值为（       ）

A. 8       B.6       C.4       D.2

3.已知，，，则 的最小值是（   ）

A.3       B.4       C.        D. 

4.若，且，则中最大的是（       ）

A.               B.               C.                      D. 

5.若，则的最小值是（       ）

A.                     B.                     C.4                     D.2

课件：

教案：

1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．

2．会用均值不等式解决简单的问题．

3．掌握运用均值不等式a＋b2≥ab求最值的常用方法及需注意的问题．

1．重要不等式：对于任意实数a，b，有a²＋b²____2ab，当且仅当______时，等号成立．

(1)重要不等式成立的条件是a，b∈R.它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；

(2)等号成立的条件是当且仅当a＝b，即当a＝b时，等号成立；反之，等号成立时有a＝b.

【做一做1】不等式a＋1≥2a(a＞0)中等号成立的条件是(　　)．

A．a＝2　　　B．a＝1

C．a＝12      D．a＝0

2．(1)均值不等式：如果a，b∈R^＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．

(2)对任意两个正实数a，b，数a＋b2叫做a，b的______，数ab叫做a，b的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．

公式变形：(1)a＋b≥2ab，ab≤(a＋b2)²(a，b∈R^＋)，当且仅当a＝b时，等号成立．

(2)a＋1a≥2(a∈R^＋)，当且仅当a＝1时，等号成立．

(3)ab＋ba≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时，等号成立．

【做一做2－1】若x＞0，则x＋2x的最小值为________．

【做一做2－2】已知0＜x＜13，则函数y＝x(1－3x)的最大值是__________．

3．已知x，y都为正数，则

(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当______时，积xy取得最大值________．

(2)若xy＝P(积为定值)，则当______时，和x＋y取得最小值________．

(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．

(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用．

【做一做3】已知x，y都是正数，

(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；

(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．

一、使用均值不等式求最值的注意事项

剖析：(1)a，b都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x＜0时，函数f(x)＝x＋1x≥21x)＝2，所以函数f(x)的最小值是2.由于f(－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x＜0时，不能直接用均值不等式求f(x)＝x＋1x的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－x＋1－x≥21－x)＝2，此时有f(x)≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．

(2)ab与a＋b有一个是定值，即当ab是定值时，可以求a＋b的最值；当a＋b是定值时，可以求ab的最值．如果ab和a＋b都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f(x)＝x＋1x－1≥2xx－1)，所以函数f(x)的最小值是2xx－1).由于2xx－1)是一个与x有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab与a＋b有一个是定值．其实，当x＞1时，有x－1＞0，则函数f(x)＝x＋1x－1＝[(x－1)＋1x－1]＋1≥21x－1)＋1＝3.因此，当ab与a＋b没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．

(3)等号能够成立，即存在正数a，b使均值不等式两边相等，也就是存在正数a，b使得ab＝a＋b2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x≥2时，函数f(x)＝x＋1x≥21x)＝2，所以函数f(x)的最小值是2.很明显x＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x＝1x，即x＝1，而函数的定义域是x≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x≥2时，函数f(x)＝x＋1x是增函数，函数f(x)的最小值是f(2)＝2＋12＝52.

因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．

二、教材中的“思考与讨论”

均值不等式与不等式a²＋b²≥2ab的关系如何？请对此进行讨论．

剖析：(1)在a²＋b²≥2ab中，a，b∈R；在a＋b≥2ab中，a，b∈R^＋.

(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)．

(3)证明的方法都是作差比较法．

(4)都可以用来求最值．

题型一 利用均值不等式比较大小

【例1】已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，试比较a²＋b²＋c²，ab＋bc＋ca，13的大小．

分析：变形利用不等式找出a²＋b²＋c²与ab＋bc＋ca的大小，结合条件a＋b＋c＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．

反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．

题型二 利用均值不等式求最值

【例2】已知x，y∈(0，＋∞)，且2x＋y＝1，求1x＋1y的最小值．

分析：11y→11y→11y→利用均值不等式求解

反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．

题型三 利用均值不等式证明不等式

【例3】已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，

求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.

分析：注意到a＋b＋c＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．

反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．

题型四 利用均值不等式解恒成立问题

【例4】已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值．

分析：

反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．

题型五 易错辨析

【例5】已知0＜x＜1，求f(x)＝2＋log₅x＋5log5x的最值．

错解：f(x)＝2＋log₅x＋5log5x≥2＋25log5x)＝2＋25，∴f(x)的最小值为2＋25.

错因分析：a＋b≥2ab的前提条件是a，b∈R^＋，∵0＜x＜1，∴log₅x＜0.∴5log5x＜0.∴不能直接使用均值不等式．

【例6】求f(x)＝x2＋4
(x2＋3)＋1的最小值．

错解：因为f(x)＝x2＋4
(x2＋3)＋1＝x2＋3＋1
(x2＋3)＋1＝x2＋3＋1
(x2＋3)＋1≥2＋1＝3，所以f(x)＝x2＋4
(x2＋3)＋1的最小值为3.

错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x2＋3＝1
(x2＋3)无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．

1对于任意实数a，b，下列不等式一定成立的是(　　)．

A．a＋b≥2ab　　　　B．a＋b2≥ab

C．a²＋b²≥2ab        D．ba＋ab≥2

2已知a，b∈R，且a²＋b²＝4，那么ab(　　)．

A．有最大值2，有最小值－2

B．有最大值2，但无最小值

C．有最小值2，但无最大值

D．有最大值2，有最小值0

3设x，y为正数，则(x＋y)(1x＋4y)的最小值为(　　)．

A．6      B．9      C．12      D．15

4若x＞3，那么当x＝________时，y＝x＋1x－3取最小值________．

5已知x，y∈R^＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．

答案：

基础知识·梳理

1．≥　a＝b

【做一做1】B

2．(1)a＋b2≥ab　a＝b　(2)算术平均值　几何平均值　两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值

【做一做2－1】22　x＞0⇒x＋2x≥22，当且仅当x＝2x，即x＝2时，等号成立．

【做一做2－2】112　∵0＜x＜13，∴1－3x＞0.

∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤13[3x＋(1－3x)2]²＝112，当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立．

∴x＝16时，函数取得最大值112.

3．(1)x＝y　14S²　(2)x＝y　2P

【做一做3】(1)215　(2)2254　(1)当xy＝15时，x＋y≥2xy＝215，当且仅当x＝y＝15时，等号成立．所以x＋y的最小值为215；

(2)当x＋y＝15时，xy≤x＋y2＝152，所以xy≤2254，当且仅当x＝y＝152时，等号成立．所以xy的最大值为2254.

典型例题·领悟

【例1】解：∵a²＋b²≥2ab，a²＋c²≥2ac，b²＋c²≥2bc，

∴2(a²＋b²＋c²)≥2ab＋2ac＋2bc.①

∴a²＋b²＋c²≥ab＋ac＋bc.②

①式两边分别加上a²＋b²＋c²，得

3(a²＋b²＋c²)≥(a＋b＋c)²＝1，

∴a²＋b²＋c²≥13.

由②式，得3(ab＋bc＋ca)≤a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)²＝1，

∴ab＋bc＋ca≤13.

综上，知a²＋b²＋c²≥13≥ab＋bc＋ca.

【例2】解：1x＋1y＝(1x＋1y)(2x＋y)＝2＋2xy＋yx＋1＝3＋2xy＋yx≥3＋22xyx＝3＋22，

当且仅当2xy＝yx，即(y22x＋y＝1⇒x＝(12)
(22))时等号成立．

∴1x＋1y的最小值为3＋22.

【例3】证明：∵a＋b＋c＝1，

∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)．

又∵a，b，c都是正实数，

∴a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2≥ac＞0.

∴(a＋b)(b＋c)(a＋c)8≥abc.

∴(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.

当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．

【例4】解：∵(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a＋yx＋axy，

又x＞0，y＞0，a＞0，

∴yx＋axy≥2yaxy＝2a，

∴1＋a＋yx＋axy≥1＋a＋2a，

∴要使(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，只需1＋a＋2a≥9恒成立即可．

∴(a＋1)²≥9，即a＋1≥3，∴a≥4，

∴正实数a的最小值为4.

【例5】正解：∵0＜x＜1，∴log₅x＜0.

∴(－log₅x)＋(－5log5x)≥2(－log5x)·(－(5log5x))＝25.

∴log₅x＋5log5x≤－25.

∴f(x)≤2－25.

当且仅当log₅x＝5log5x，

即x＝5^－5时，等号成立，此时f(x)有最大值2－25.

【例6】正解：f(x)＝x2＋4
(x2＋3)＋1＝x2＋3＋1
(x2＋3)＋1＝x2＋3＋1
(x2＋3)＋1.

令t＝x2＋3(t≥3)，

则原函数变为f(x)＝t＋1t＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．

所以当t＝3时，f(x)＝t＋1t＋1取得最小值3)3＋1.

所以当t＝3，即x＝0时，f(x)＝x2＋4
(x2＋3)＋1取得最小值3)3＋1.

随堂练习·巩固

1．C　均值不等式要考虑正负情况，如果a，b不能保证是正值，则选项A，B，D都不一定成立，只有选项C对任意实数恒成立．

2．A　这里没有限制a，b的正负，则由a²＋b²＝4，a²＋b²≥2|ab|，得|ab|≤2，所以－2≤ab≤2，可知ab的最大值为2，最小值为－2.

3．B　因为x，y为正数，所以(x＋y)(1x＋4y)＝1＋4＋yx＋4xy≥9，当且仅当y＝2x时，等号成立，故选B.

4．4　5　y＝x＋1x－3＝x－3＋1x－3＋3≥2(x－3)×(1x－3)＋3＝5，当且仅当x－3＝1x－3，即x＝4时，y取最小值5.

5．116　因为x，y∈R^＋，且x＋4y＝1，

所以xy＝14x·4y≤14(x＋4y2)²＝116，

当且仅当x＝4y＝12，即x＝12，y＝18时，等号成立．

所以xy的最大值为116.

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