高中数学《3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

建模过程描述与介绍       

俗话说，“物以稀为贵”。一般来说，当市面上某种商品的出售量比较多时，这种商品的价格就会比较低；而出售量比较少时，价格就会比较高。

例如，当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低。这时，如果利用一定的技术手段将苹果进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得相对较高的销售收入。不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大。

视频教学：

练习：

课件：

教案：

教学课时：第1课时

　　教学目标：

　　1.经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程，掌握建模方法，培养数学建模、数学抽象等核心素养；

　　2.通过学习数学和应用数学，认识数学的科学价值、应用价值，体会数学在社会生活和生产实践中的应用，落实立德树人的根本任务，培养学生的社会责任感和使命感。

　　教学重点：

　　建立数学模型的过程。

　　教学难点：

　　如何把一个实际问题转化成数学问题。

　　教学过程：

　　一、 提出问题、合作探究

　　问题1：什么是数学建模活动：

　　数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。数学建模活动的基本过程如下：

　　例如一个物体自由下落，位移随时间的变化的关系式为：，（其中重力加速度）。则称为该物体的位移随着时间变化的数学模型。

　　下面我通过一个实际问题，来体会数学建模的过程。

　　二、分析问题、建立模型

　　问题2：陕西省目前已经是全球最大的连片种植苹果区域，苹果产量占全世界六分之一，种植面积高达1000多万亩。2019年11月，小明家所在的村镇苹果丰收，可是当地农民却发愁：是现在就把苹果出售还是储存起来，等冬季苹果数量少价格高了再出售。

　　利用数学建模方法解决：决定苹果的最佳出售时间点。

　　交流与讨论1：

　　①一般情况下，影响商品价格的因素有哪些？

　　影响商品价格的因素有很多，假定其它影响因素不变，只考察一个因素：苹果的数量影响价格。

　　当市场上苹果的数量比较多时候，价格较低；当市场上苹果的数量较少时候，价格较高；

　　②如果用一定技术手段，把苹果储存起来，储存成本和时间的关系是什么？

　　一般情况下，储存成本会随着时间增长而增大。

　　③为了能够通过数学方法解决问题，不同的保鲜储存技术问题的成本问题不予考虑。

　　交流与讨论2：如何用数学符号语言来描述上述讨论的结果？

　　设市场上苹果的数量为万吨，苹果的单价为元。

　　则y会随着x的增大而减少；y会随着x的减少而增大.记：y=f(x).则y=f(x)是减函数。

　　设苹果保鲜储存的时间为t天，单位数量苹果保鲜成本为g(t)，则g(t)是一个增函数。

　　市场上苹果的数量x会随着时间为t的变化而变化，设x=h(t)。

　　交流与讨论3：如何建立苹果收益的数学模型（函数）？

　　设苹果在第天出售时，单位数量的苹果的收益用z（元）表示，则：

　　z=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t)。

　　下面只要根据实际情况确定f(x)，x=h(t)，g(t)的表达式即可。

　　为了简化，我们假设：f(x)和g(t)都是一次函数，x=h(t)是二次函数，即：

　　f(x)=k₁x+l₁,(k₁＜0),g(t)=k₂t+l₂,(k₂＞0).x=h(t)=at₂+bt+c,(a≠0)

　　则：z=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t)=k₁at₂+(k₁b-k₂)t+k₁c+l₁-l₂。

　　【设计意图】

　　数学建模的过程是锻炼学生对现实对象进行分析、提炼、归纳、抽象的结果，是以数学语言来精确地描述现实对象的内在特征，以便于通过数学上的演绎推理和分析，求解深化对所研究实际问题的认识。

　　三、确定参数，计算求解

　　交流与讨论4：如何确定函数模型f(x)=k₁x+l₁，(k₁＜0)，g(t)=k₂t+l₂,(k₂＞0),x=h(t)=at₂+bt+c,(a≠0)中的参数？

　　通过调查，收集实际数据，来确定参数.例如，收集了如下数据：

　　运用待定系数法，求得函数模型：

　　f(x)=-0.5x+0.5，

　　g(t)=0.01t+0.1，

　　x=h(t)=0.002t₂-0.14t+9.6.

　　从而：z=-0.001t₂+0.06t+0.1

　　求解：z=-0.001(t-30)²+1，所以在t=30时，单位商品所获得的利润最大，为1元。

　　四、思考反思.

　　上面建立的模型可能会与实际情况有所偏差，因为在建模的过程中，我们假设f(x)和g(t)都是一次函数等于就已经把问题做了简化，如果条件允许，可以在收集尽可能多的数据的基础上，通过分析数据来最终建立函数的模型，这样也能优化最终建立的模型。

　　本次数学建模活动是针对一个地区的苹果的最佳出售时间，这个问题在很多偏远地区具有广泛的应用前景，特别是国家对于贫困地区进行大力扶持脱贫攻坚阶段，如果运用我们所学到的数学知识，帮助农民伯伯实现丰产又丰收，这样我们所学到的知识的意义将更加重大。如果同学们有条件的话，可以把自己的模型和当地种植苹果的农民伯伯来进行验证，从而让数学在生产实践中发挥更大的作用。

　　五、布置作业

　　教材130页，3.(2)查阅数据或者自行设计试验收集数据，建立有关停车距离的数学模型。

　　【注意：如果自行设计试验，在保证自身或者他人安全的情况下收集数据】

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