高中数学《*10.3 复数的三角形式及其运算》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

一、三角运算：

复数除法         复数乘法

其实，这个结论也不难验证，用代数形式化简就可以的。

但是，这个结论的意义又是不一般的，它同时使得向量有了伸缩和旋转两种变换。

而且，由它可以很容易的得出复数的乘方运算和模的性质。

当然，复数的加减运算，按照三角形或平行四边形法则，可是不具备如此好的性质的。

但它和向量一样，也有下面这个不等关系：

视频教学：

练习：

一、选择题

1．复数z₁＝1，z₂由z₁绕原点O逆时针方向旋转π6而得到，则arg(z₂z₁)的值为(　　)

A.π12  B.π6

C.π4  D.π3

2．复数－12＋3)2i的三角形式是(　　)

A．cos 60°＋isin 60°  B．－cos 60°＋isin 60°

C．cos 120°＋isin 60°  D．cos 120°＋isin 120°

3．设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是(　　)

A．锐角三角形  B．钝角三角形

C．直角三角形  D．形状不能确定

4．复数cos π3＋isin π3经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于(　　)

A．3            B．12

C．6k－1(k∈Z)  D．6k＋1(k∈Z)

5．复数z＝cosπ15＋isinπ15是方程x⁵＋α＝0的一个根，那么α的值为(　　)

A.3)2＋12i      B.12＋3)2i

C．－3)2－12i  D．－12－3)2i

6．(探究题)若复数as4alco1((1＋i1－i))ⁿ为实数，则正整数n的最小值是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

二、填空题

7．设z＝1＋i，则复数z2－3z＋6z＋1的三角形式是________．

8．复数2＋2i的辐角主值为________，化为三角形式为________．

9．设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为________．

课件：

教案：

教学课时：共2课时（第1课时）

　　教学目标：

　　1、能借助复数的几何意义认识复数的三角形式，知道复数可以用三角形式来表示且可以与代数形式互化，正确识别复数的三角形式中模、辐角等相关概念．

　　2、结合知识学习进一步体会数形结合思想的应用，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养；能熟练求出简单代数形式的复数的三角形式．

　　3、体会事物联系的普遍性，形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．

　　教学重点：将复数的代数形式化为三角形式的意义与转化的方法步骤．

　　教学难点：将复数的代数形式化为三角形式的意义．

　　教学过程：

　　一、情境与问题

　　问题1：

　　设复数在复平面内对应的点为Z，你能不能写出点Z的坐标，并在复平面内描出点Z的位置，做出向量？

　　问题2：

　　记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，请求出r的值，并写出的任意一个值．

　　问题3：

　　小组讨论r、与的实部与虚部之间的关系．每个小组把讨论得出的结论写出来．请出几个小组的代表发言．

　　【学生活动】：

　　1、阅读教材43页尝试与发现．

　　2、回答文章中提出的问题．

　　3、小组讨论并把讨论得出的结论写出来．

　　【设计意图】：

　　引导学生自主思考复数的r、与复数的实部、虚部之间的联系．建立引入复数的三角形式的学习情境．

　　二、新知探究

　　问题1：

　　是不是任意的复数的实部、虚部与复数的r、与之间都存在类似的关系？我们能不能利用r、表示复数？

　　【学生活动】学生动手推导复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系．

　　【设计意图】通过学生自己动手推导，得到复数的实部、虚部与复数的r、与之间的关系，将推广到z=a+bi．

　　问题2：

　　复数三角形式的定义是什么？

　　【学生活动】

　　尝试总结复数三角形式的定义．

　　【设计意图】引导学生自己总结复数三角形式的定义，调动学生学习的积极性，能帮助学生加深对复数三角形式的理解．

　　复数 z=a+bi （a,b∈R）表示成r（cosθ+ isinθ）的形式叫复数z的三角形式．即z=r（cos θ+ isinθ）．其中，θ为复数z的辐角．

　　问题3：

　　辐角是唯一的吗？如果不唯一，它们之间有什么关系？

　　以Ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角．任意非零复数的辐角都有无穷多个，任意两个辐角之间相差2的整数倍．[0，2）内的辐角称为辐角主值，记作arg z．z=0时，其辐角是任意的．

　　【学生活动】思考并讨论．

　　【设计意图】引导学生对辐角的概念进一步思考，讨论得出正确答案．并培养思维的严谨性．

　　问题4：复数的三角形式与代数形式怎么互化？

　　【学生活动】学生思考并总结．

　　【设计意图】明确三角形式与代数形式之间的互化．

　　三、例题示范

　　例1（教材44页例1）

　　考查意图：考查对复数三角形式的理解，数学运算能力，化归思想．

　　思路分析：求出复数的模，找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可．

　　解：（1）；

　　（2）；

　　（3）．

　　解法评析：化成三角形式的关键是找到复数的模和其中一个辐角，通常是辐角主值．

　　例2：（教材48页习题10-3A第一题）

　　把下列复数化为代数形式．

　　考查意图：考查对复数三角形式与代数形式的关系的理解．例1是代数形式化成三角形式，补充一道题，三角形式化成代数形式．

　　思路分析：打开括号，直接整理即可．

　　解：

　　解法评析：复数的三角形式与代数形式的互化中，三角形式化代数形式比较容易．通过互化过程掌握两种形式之间的联系．

　　四、知能训练

　　1、教材48页习题10-3A第2题、第6题

　　考查意图：复数的辐角

　　2、教材48页习题10-3A第3题、第4题，49页习题10-3B第2题

　　考查意图：复数的三角形式与代数形式的互化．

　　五、归纳总结

　　1、知识内容及研究方法方面：复数的三角形式．

　　2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析．

　　3、应注意的问题：复数由代数形式、几何形式、三角形式，学习中应注意三种形式之间的区别与联系．

　　4、学生活动方式说明：本节学习内容为选学内容，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．

　　5、作业建议：

　　48页习题10-3A第2题、第3题、第4题第6题，

　　49页习题10-3B第2题

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