高中数学《11.1.5 旋转体》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

1.在中学我们只研直圆柱、直圆锥和直圆台。所以对圆柱、圆锥、圆台的旋转定义、实际上是直圆柱、直圆锥、直圆台的定义。

　　这样定义直观形象，便于理解，而且对它们的性质也易推导。

　　对于球的定义中，要注意区分球和球面的概念，球是实心的。

　　等边圆柱和等边圆锥是特殊圆柱和圆锥，它是由其轴截面来定义的，在实践中运用较广，要注意与一般圆柱、圆锥的区分。

　　2.圆柱、圆锥、圆和球的性质

　　(1)圆柱的性质，要强调两点：一是连心线垂直圆柱的底面;二是三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆;轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形;平行于轴线的截面是一个以上、下底的圆的弦和母线组成的矩形。

　　(2)圆锥的性质，要强调三点

　　①平行于底面的截面圆的性质：

　　截面圆面积和底面圆面积的比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的平方比。

　　②过圆锥的顶点，且与其底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形，其面积为：

　　易知，截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角(如图10-20)，事实上，由BC≥AB，VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC.

　　由于截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角。

　　所以，当轴截面的顶角θ≤90°，有0°<α≤θ≤90°，即有

　　当轴截面的顶角θ>90°时，轴截面的面积却不是最大的，这是因为，若90°≤α<θ<180°时，1≥sinα>sinθ>0.

　　③圆锥的母线l，高h和底面圆的半径组成一个直径三角形，圆锥的有关计算问题，一般都要归结为解这个直角三角形，特别是关系式

　　l2=h2+R2

　　(3)圆台的性质，都是从“圆台为截头圆锥”这个事实推得的，但仍要强调下面几点：

　　①圆台的母线共点，所以任两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是，与上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形。

　　②平行于底面的截面若将圆台的高分成距上、下两底为两段的截面面积为S，则

　　其中S1和S2分别为上、下底面面积。

　　的截面性质的推广。
　　③圆台的母线l，高h和上、下两底圆的半径r、R，组成一个直角梯形，且有

　　l2=h2+(R-r)2

　　圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形。

　　(4)球的性质，着重掌握其截面的性质。

　　①用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直。

　　②如果用R和r分别表示球的半径和截面圆的半径，d表示球心到截面的距离，则

　　R2=r2+d2

　　即，球的半径，截面圆的半径，和球心到截面的距离组成一个直角三角形，有关球的计算问题，常归结为解这个直角三角形。3.圆柱、圆锥、圆台和球的表面积

　　3.(1)圆柱、圆锥、圆台和多面体一样都是可以平面展开的。

　　①圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，是求其侧面积的基本依据。

　　圆柱的侧面展开图，是由底面图的周长和母线长组成的一个矩形。

　　②圆锥和侧面展开图是一个由两条母线长和底面圆的周长组成的扇形，其扇形的圆心角为

　　③圆台的侧面展开图是一个由两条母线长和上、下底面周长组成的扇环，其扇环的圆心角为

　　这个公式有利于空间几何体和其侧面展开图的互化

　　显然，当r=0时，这个公式就是圆锥侧面展开图扇形的圆心角公式，所以，圆锥侧面展开图扇形的圆心角公式是圆台相关角的特例。

　　(2)圆柱、圆锥和圆台的侧面公式为

　　S侧=π(r+R)l

　　当r=R时，S侧=2πRl，即圆柱的侧面积公式。

　　当r=0时，S侧=rRl，即圆锥的面积公式。

　　要重视，侧面积间的这种关系。

　　(3)球面是不能平面展开的图形，所以，求它的面积的方法与柱、锥、台的方法完全不同。

　　推导出来，要用“微积分”等高等数学的知识，课本上不能算是一种证明。

　　求不规则圆形的度量属性的常用方法是“细分——求和——取极限”，这种方法，在学完“微积分”的相关内容后，不证自明，这里从略。

　　4.画圆柱、圆锥、圆台和球的直观图的方法——正等测

　　(1)正等测画直观图的要求：

　　①画正等测的X、Y、Z三个轴时，z轴画成铅直方向，X 轴和Y轴各与Z轴成120°。

　　②在投影图上取线段长度的方法是：在三轴上或平行于三轴的线段都取实长。

　　这里与斜二测画直观图的方法不同，要注意它们的区别。

　　(2)正等测圆柱、圆锥、圆台的直观图的区别主要是水平放置的平面图形。

　　用正等测画水平放置的平面圆形时，将X轴画成水平位置，Y轴画成与X轴成120°，在投影图上，X轴和Y轴上，或与X轴、Y轴平行的线段都取实长，在Z轴上或与Z轴平行的线段的画法与斜二测相同，也都取实长。

　　5.关于几何体表面内两点间的最短距离问题

　　柱、锥、台的表面都可以平面展开，这些几何体表面内两点间最短距离，就是其平面内展开图内两点间的线段长。

　　由于球面不能平面展开，所以求球面内两点间的球面距离是一个全新的方法，这个最短距离是过这两点大圆的劣弧长。

视频教学：

练习：

一、选择题

1．下列说法正确的是(　　)

A．到定点的距离等于定长的点的集合是球

B．球面上不同的三点可能在同一条直线上

C．用一个平面截球，其截面是一个圆

D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面

2．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为(　　)

A．π B．2π

C．3π D．4π

3．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积为(　　)

A．15 B．15π

C．24π D．30π

4．若圆台的高为4，母线长为5，侧面积为45π，则圆台的上、下底面的面积之和为(　　)

A．9π B．36π

C．45π D．81π

5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为(　　)

A.1＋2π2π B.1＋4π4π

C.1＋2ππ D.1＋4π2π

6．(易错题)以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其它两边旋转一周所得的几何体是(　　)

A．两个圆锥拼接而成的组合体

B．一个圆台

C．一个圆锥

D．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥

课件：

教案：

学科	数学	年级	高一	时间	2021年6月日
课题	11.1．3旋转体	课型	新授课
课时	第2课时	主备教师	刘海刚
学习目标	1.了解圆柱、圆锥、圆台和球的构成及其性质。 2.遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，认识空间图形。 3.激发学生的好奇心求知欲，启发学生发现和提出问题，善于独立思考。
学习重点	对旋转体概念的再认识。
学习难点	球面距离的概念和应用以及组合体的分解与合成。
学法指导	采用直观感知，后推理论证的学习方法。
课前预习	学生预习提纲
一、知识点复习： 1、圆柱可以看作以所在直线为旋转轴，将旋转一周而形成的几何体。圆锥可以看作以所在直线为旋转轴，将旋转一周而形成的几何体。圆台可以看作以所在直线为旋转轴，将旋转一周而形成的几何体。 2、由平面图形旋转形成的几何体称为旋转体。旋转轴称为旋转体的轴，在轴上的（或它的长度）称为旋转体的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的，旋转而成的曲面叫做几何体的侧面，无论旋转到什么位置，都叫做母线。 3.轴截面：通过的平面所得到的的截面简称为轴截面。二、球： 1、球面可以看作绕着所在的直线旋转一周所形成的曲面，围成的几何体叫做球。叫做球心，的线段叫做半径；连接上两点且的线段叫球的直径。球面也可以看作的点的集合。 2、球的大圆：球面被的平面截得的圆叫做球的大圆；球的小圆：球面被的平面截得的圆叫做球的小圆。设为球的半径，为小圆的半径，为球心，为小圆圆心，，则。例1 把地球看成一个半径为6370的球，已知我国首都北京靠近北纬。求北纬纬线的长度（，结果精确到1km, ）。
课前预习	学生预习提纲
【针对性练习】用一个平面截半径为25的球，截面面积是，求球心到截面的距离？ 3.球的表面积：例2 已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积。【针对性练习】已知一个球的半径为3，求这个球的表面积。【课后作业】已知球的表面积为，求与球心的距离为的截面的面积。