高中数学《1.1.1 空间向量及其运算》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

;;

运算律：⑴加法交换律：

⑵加法结合律：

⑶数乘分配律：

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。

当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。

4. 共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

视频教学：

练习：

1、正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在，N为B₁B的中点，则为(　　)

2、如图所示的一块长方体木料中，已知，设为底面的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为　　．

3、在平行四边形ABCD中，，且，沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（　　）

　 A． 16π B． 8π C． 4π D． 2π

4、已知三棱锥O-ABC，点G是△ABC的重心。设，，，那么向量用基底{，，}可以表示为 .

5、△ABC满足，∠BAC＝30°，设M是△ABC内的一点(不在边界上)，定义f(M)＝(x，y，z)，其中x、y、z分别表示△MBC、△MCA、△MAB的面积，若f(M)＝(x，y，)，则的最小值为(　　)

A．9　　 B．8　　　　 C．18　　　 D．16

6、已知平面的法向量为，点不在内，则直线与平面的位置关系为

A． B．

C．与相交不垂直 D．

7、已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB，AC．M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基向量表示向量，并设，则______．

8、已知，，则的最小值为（）

A. B. C. D.

9、已知，，则的最小值为（）

A. B. C. D.

10、正四面体OABC，其棱长为1．若=x+y+z（0≤x，y，z≤1），且满足x+y+z≥1，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为　　．

11、已知空间向量，，，则下列结论正确的是（）

A．a∥c且a∥b B．a⊥b且a⊥c

C．a∥c且a⊥b D．以上都不对

12、一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的主视图时，以平面为投影面，则得到主视图可以为（）

A. B. C. D.

13、如图：在平行六面体中，为与的交点.若，，则下列向量中与相等的向量是（）

A． B．

C． D．

14、已知，，，，则（）

（A）（B）

（C）（D）

15、已知，则

A． B． C． D．

16、如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，若，则x+y+z=

(A ) (B) (C) (D)1

17、如图所示,在平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,M为A₁C₁与B₁D₁的交点.若,则下列向量中与相等的向量是( )

A. －＋＋ B. ＋＋

C．－－＋ D. －＋

18、已知向量，则

（A）（B）

（C）（D）

课件：

教案：

课程基本信息
课题	1.1.1空间向量及其运算
教科书	书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2020 年 8 月
教学目标
教学目标：类比平面向量，理解空间向量的概念；掌握空间向量线性运算的法则，能利用运算律，初步进行简单的空间向量线性运算教学重点：空间向量的线性运算教学难点：空间向量共面的判断
教学过程
时间	教学环节	主要师生活动
8分	空间向量及其概念	我们前面已经学习过了平面向量的相关知识. 请同学们回忆两个小问题：（1）什么是单位向量？（2）平面向量可以进行哪几种运算？我们知道，在平面内，既有大小又有方向的量称为向量. 向量的大小称作向量的模，而模为1的向量就是单位向量. 在空间中，既有大小又有方向的量称为空间向量，也简称为向量. 空间向量的大小称为向量的模（或长度）. 模为0的向量称作零向量，零向量的方向是不确定的. 模为1的向量称为单位向量. 大小相等，方向相同的向量称为相等向量. 向量a和b相等，记作a=b. 如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行. 规定零向量与任何向量平行. 两个向量平行也称作两个向量共线. 在空间中，除了研究向量共线，还要研究向量共面的情形. 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面. 否则称这些向量不共面.
8分	空间向量的线性运算	平面向量的加法，减法，数乘统称为线性运算. 我们先来回忆一下平面向量是怎样进行线性运算的. 平面向量的加法可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则. 平面向量的减法，可以利用三角形法则，也可以把a+b转化为a+(-b). 平面向量的数乘是这样规定的： ka的大小为\|k\|\|a\| 当k>0时，ka与a同向；当k<0< span="">时，ka与a反向；当k=0时，ka为零向量，此时方向不确定. 平面向量的加法，减法，数乘都可以相应地推广到空间中，它们的运算方法不变，这就是空间向量的线性运算. 完全类似于平面向量，空间向量的加减法满足交换律，结合律，数乘还满足与加减法的分配律.
6分	例题分析与讲解	答案：
1分	课堂小结	1. 完全类似地推广：平面向量的概念——空间向量的概念平面向量的加减，数乘——空间向量的加减，数乘 2. 特别注意：空间向量的共面