高中数学《2.3.2 圆的一般方程》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

圆的一般方程

视频教学：

练习：

1.若方程ax²+ay²-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是(　　)

A.R            B.(-∞,0)∪(0,+∞)

C.(0,+∞)            D.(1,+∞)

2.已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是(　　)

A.x²+y²+4x-2y-5=0           

B.x²+y²-4x+2y-5=0

C.x²+y²+4x-2y=0           

D.x²+y²-4x+2y=0

3.圆x²+y²-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(　　)

A.2            B.            C.1            D.

4.已知圆C的圆心坐标为(2,-3),且点(-1,-1)在圆上,则圆C的方程为(　　)

A.x²+y²-4x+6y+8=0           

B.x²+y²-4x+6y-8=0

C.x²+y²-4x-6y=0           

D.x²+y²-4x+6y=0

5.圆C:x²+y²+4x-2y+3=0的圆心是　　　　　.半径是　　　　　. 

课件：

教案：

课题	圆的一般方程	课型	新
授课课时	1课时	授课时长	45分钟
授课题目(章，节)	第四章第一节4.2.1圆的一般方程
教材及参考书目	人教A版高中数学实验教科书必修2
●教学目的与要求    一、知识目标：(1)理解记忆圆的一般方程的代数特征。                (2)掌握方程表示圆的条件。 二、能力目标：(1)能应用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程。            (2)能应用待定系数法求圆的一般方程。            (3)能应用代入法求一般曲线的方程。            (4)培养探索发现及分析解决问题的能力。 三、情感目标：(1)培养学生勇于探索的精神。                (2)渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质。 ●教学重点    圆的一般方程的代数特征、一般方程与标准方程的互化、待定系数法求圆的一般方程 的步骤 ●教学难点    圆的一般方程和代入法的掌握、应用 ●教学方法 师生合作式探究  诱导启发式教学 ●教学辅助    多媒体教学平台   CAI课件 ●教学过程与时间分配  一、复习提问，引入课题                 （3 分钟）  二、探索研究，讲授新课                 （22分钟）  三、例题讲解，对应练习                 （16分钟）  四、课堂小结，反馈回授                 （3 分钟）  五、分层作业，巩固提高                 （1 分钟）

4.2.1圆的一般方程

教学基本内容

设计意图

一、复习提问，引入课题

  问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？

【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。

【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。

二、探索研究，讲授新课

请同学们写出圆的标准方程：

、圆心(a，b)、半径r

把圆的标准方程展开，并整理: 取D=-2a E=-2b F= 这个方程就是圆的方程.

反过来给出一个形如的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

 把配方得：

【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。

问题：这个方程是不是表示圆？

⑴当﹥0时，方程表示以(-，)为圆心，以

为半径的圆.

⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容.

⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.

⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.

⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.

⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是

所有的方程都可以

表示圆。使得学生的认识不断加深，同时

教学基本内容

设计意图

⑵当=0时，方程只有实数解,

即只表示一个点(,).

⑶当﹤0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.

【师生互动】学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。

【归纳总结】圆的一般方程的特点：

 ⑴①和的系数相同，都等于1。

   ②没有这样的二次项。

 ⑵圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，就能确定圆的一般方程。

⑶圆的一般方程是一种特殊的二元一次方程，代数特征明显，圆的标准方程则是几何特征明显。

【师生互动】学生小组讨论交流，老师进行课堂巡视指导，引导学生归纳。最后师生共同总结出圆的一般方程的特点。

【辅助手段】板书配方和展开过程，多媒体课件幻灯片展示

三、例题讲解，对应练习

例1 判断下列二元一次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

   ⑴

   ⑵

分析：方法1 利用配方法将其化为圆的标准形式.

    方法2 应用圆的一般方程来解，这里D=-1,E=3,F=.

例2  求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个

圆的半径长和圆心坐标。

分析：根据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的

培养思维的严谨性.

⑴归纳知识，有利于学生理清知识脉络.

⑵强调的概念的本质，让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征.

⑶深化学生对圆的一般方程的理解.

⑴同步练习，检测学生的掌握情况，及时回授，强化知识点的应用.

⑵加深对所学知识的理解应用，使学生掌握基础知识，有利于学生更高思维能力的培养.

教学基本内容

设计意图

一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。

【教师讲解】设圆的方程为

    ∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：

       即D=-8  E=6  F=O

   ∴所求的方程为

     =5、=4、=-3

   ∴圆心坐标为(4,-3)

   或将化为圆的标准方程：

【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤

 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。

 ⑵根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组。

 ⑶解出a、b、r或D、E、F并将其代入其相关方程。

例3  已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上

 运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起M运动，而点A在圆上运动点A

的坐标满足方程，建立点M与点A的关系，

就可以建立点M的坐标满足的条件，也就出了M的方程。

⑴进一步熟悉圆的一般方程.

⑵通过本题的练习，使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤.

⑴总结题目方法，提炼出解决一般问题的方法，形成类型题的方法.

⑵强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用.

教学基本内容

设计意图

【教师讲解】：设点M的坐标是(,)，点A的坐标是(,)，由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点，所以有：

               ，

于是有        ，

因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足方程

即       

把①代入②，得:

整理，得:

所以，点M的轨迹是以(，)为圆心，半径是1的圆.

【归纳总结】运用代入法求轨迹方程的步骤

 ⑴建立适当的坐标系，用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.

⑵写出适合条件的点M的集合.

⑶列出方程.

⑷化方程为最简形式.

【课堂练习】

1 求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长

 ⑴             ⑵

 ⑶

2 判断下列方程分别表示什么图形

⑴              ⑵

⑶

⑴进一步熟悉圆的一般方程.

⑵掌握运用代入法求解曲线的轨迹方程的步骤.

⑶培养学生运用知识的能力.

⑴总结归纳，把方法系统化，形成能力.

⑴让学生熟悉巩固知识，运用方法，另外还可让学生上台演习各自解题过程.

这样既可及时反馈

学生知识的掌握情况，又可以纠正学生

在解题过程中出现

的各种问题，如方法错误、书写不规范等

教学基本内容

设计意图

3 如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，高为3，

 求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求出圆心坐标和半径.

提示：待定系数法的应用.

【师生互动】⑴第一二题练习课让学生通过抢答的形式进行.

            ⑵第三题练习是待定系数法方法的运用，教师可叫几个同学上黑板进行板演，教师适当点评，最后教师讲解解题过程.

【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示，学生自练或板演，教师讲评解题过程.

四、课堂小结，反馈回授

 1、对方程的讨论和圆的一般方程的代数特征理解.

 2、圆的一般方程和标准方程的互化.

 3、待定系数法求解圆的一般方程.

4、代入法求解曲线的轨迹方程.

五、分层作业，巩固提高

必做题：教材134页3、4

选做题：

1．已知点M与两个定点O(0,0)、A(3,0)的距离的比为，求点M的轨迹方程。

 【辅助手段】多媒体课件幻灯片展示作业

问题.

⑵进一步巩固代入法等数学方法，提高学生的思维能力和运用知识解答问题的能力.

⑴有利于学生理清本节课的重难点，深化对圆的一般方程的理解，帮助学生从感性认识上升为理性认识.

⑵有利于学生把知识转化为能力，形成数学方法和数学思维.

⑶启发引导学生进行归纳整理，培养学生宏观掌握知识的能力.

⑴必做题与选做题

相结合，面向全体学

生，激发学生兴趣.

教学基本内容

设计意图

六、板书设计

课题 标准方程的展开 一般方程的配方 一般方程什么时候表示圆的讨论

例1 例2

例3 课堂小结 课后作业

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