高中数学《2.5.1 椭圆的标准方程》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1. 定义：（其中P为椭圆上一点，焦点）

2. 椭圆的标准方程：

3. 椭圆的性质

（1）

（2）轴为椭圆对称轴，原点为对称中心

（3）顶点（）（）

（4）离心率

视频教学：

练习：

1.(多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),给出下列说法中正确的说法是   (　　)

A.当a=2时,点P的轨迹不存在

B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3

C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6

D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆

2.已知椭圆过点P和点Q,则此椭圆的标准方程是   (　　)

A.+x²=1         B.+y²=1或x²+=1

C.+y²=1         D.以上都不对

3.若曲线ax²+by²=1为焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足   (　　)

A.a²>b²         B.<< span="">

C.0<a<b< span="">         D.0</a<b<>

4.椭圆5x²+ky²=5的一个焦点是(0,2),那么k=   (　　)

A.-1      B.1      C.      D.-

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.椭圆x²+ky²=1的焦距为,则k=　　　　. 

6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为　　　　　. 

例1、求适合下列条件的标准方程

（1）两个焦点坐标分别是（，0），（3，0）椭圆经过点（5，0）

（2）椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程。

（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且椭圆经过点，，求椭圆的方程。

解析：（1）∵ 椭圆的焦点在轴上   ∴ 设它的标准方程为（）

∵ ，  ∴ ，

∴    ∴ 所求椭圆的方程为

（2）由题意：，  ∴ 

又焦点在轴或轴上   ∴ 或

（3）∵ 椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上

∴ 可设椭圆的方程为

∵ 椭圆过   ∴   ∴ 

∴ 方程为

例2、方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。

解析：  ∴    ∴ 

例3、方程表示何种曲线？

解析：（1）时，是平行于轴的两条平行直线

（2）时，，方程，表示焦点在轴上的椭圆。

（3）时，表示圆。

（4）时，表示焦点在轴上的椭圆

（5）时，表示平行于轴的两条平行直线

例4、为两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。

解析：设顶点A的坐标为（）   由题意得

∴ 顶点A的轨迹方程为（）

例5、已知椭圆（），短轴的一个端点与两焦点连线构成一个正三角形且焦点到椭圆上的点的最短距离为，求此椭圆的方程。

解析：设P为椭圆上任一点，两个焦点为，其中短轴的一个端点为B（）

∵ 为正三角形   ∴   ∴ 

∵ 焦点到椭圆上的点的最短距离为

∴   

把代入得，   ∴   

∴ 

例6、焦点分别为（0，）和（0，）的椭圆截直线所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程。

解析：设   且（1）

     ∴ 

∵    ∴    ∴（2）

由（1）（2）：，   ∴ 

例7、P是椭圆上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，连结、

（1）的最小值是多少？

（2）当为钝角时，点P的横坐标取值范围是什么？

解析：（1）

（2）

∴    ∴    ∴ 

∴ 

例8、已知椭圆的焦点是，P为椭圆上一点，且是和的等差中项。

（1）求椭圆的方程

（2）若点P在第三象限，且，求

解析：（1）由题设  ∴ 

又   ∴    ∴ 

（2）设，则

由正弦定理得：

∴ （等比定理）

∴    ∴ 

∴     ∴ 

∴ 

课件：

教案：

课程基本信息

       
         

课题

2.5.1 椭圆的标准方程

教科书

书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册（B版）                                

出版社：人民教育出版社        出版日期：2020年8月

教学目标

教学目标：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，并在此基础上学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程

教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程

教学难点：椭圆标准方程的建立和推导

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

一、从情境出发，提出问题，得到定义

问题一：在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，你都能想到些什么样的实例呢？

问题二：我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径，那么，你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上的任意一点的特征是什么？

问题三：椭圆给人的印象是“压扁的圆”，但这不是数学上椭圆的定义，数学上我们是如何定义椭圆的呢？

椭圆的定义：

事实上：如果，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足的动点的轨迹称为椭圆，其中，两个定点，称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距.

另外，椭圆可以通过用平面截圆锥面得到，因此椭圆是一种圆锥曲线.

二、从生活出发，理解定义，得到椭圆

问题四：你能利用日常生活中的物品作出一个椭圆吗？

在平的画板上取两个定点和，在这两个点上都钉上一个图钉，将一条长度大于的细绳的两端固定在两个图钉上，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，则画出的图形是一个椭圆.

因此，我们可以得到：椭圆上的点的特征是：任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和都等于“绳长”.

问题五：通过刚才作椭圆的方法验证了椭圆定义中的点一定存在而且有无数多个，那么，在数学上能不能证明这一点呢？

三、从实例出发，求出椭圆，得到方程

问题六：设，是平面内的两个定点，，证明平面上满足的动点有无数多个，并求出的轨迹方程.

不难想到，我们可以通过坐标法来探讨上述满足条件的点是否存在.

坐标法求曲线方程的一般步骤：

（1）设动点坐标（如果没有坐标系需要先建系）；

（2）写出几何条件，并用坐标表示；

（3）化简并检验.

在建立坐标系时应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达简单化，充分利用图形的特征.

解：

设动点坐标：

以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，设椭圆的焦点分别为，.

设的坐标，

写出几何条件：

因为，

用坐标表示几何条件：

而且，，

所以.          ①

化简并检验：

当时，，

即，

此时，由①得

，

所以，

所以，

即，           ②

①+②整理得：，            ③

将③式平方，再整理得.                  ④

当时，由①可知，即，此时④也成立.

由上，可以验证，如果的坐标满足④式，则可得.——方程的曲线

同时，方程④有无穷多组实数解，这说明坐标满足的点有无数多个，而且的轨迹方程为④式.——曲线的方程

四、特例一般化，求出椭圆的标准方程

问题七：一般地，如果椭圆的焦点为和，焦距为，而且椭圆上的动点满足，其中，那么我们能得到一个什么样的椭圆方程呢？

建系设点：

以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.此时，椭圆的焦点分别为，.

设的坐标是椭圆上任意一点，

列出条件：

则，

代入坐标：

因为，，

所以.          ①

整理化简：

当时，，

即

此时，由①得

，

所以，

所以，

即，           ②

①+②整理得：，            ③

将③式平方，再整理得.       ④

当时，由①可知，即，此时④也成立.

因为，所以，设，且，则④式可化为

                            ⑤

可以验证，方程⑤就是椭圆的方程，通常称为焦点在轴上的椭圆的标准方程.

五、类比研究，焦点在轴上的椭圆的标准方程

问题八：如果椭圆的焦点为和，焦距为，而且椭圆上的动点满足

，其中，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系.此时，

（1）椭圆的焦点坐标分别是什么？

（2）能否类比焦点在轴上的椭圆的标准方程，得到此时椭圆的方程呢？

解：（1）此时，椭圆的焦点分别为，.

（2）设的坐标是椭圆上任意一点，则，

因为，，

所以.         ①

对比焦点在轴上对应的方程

              ②

我们可以发现，方程①实际上就是方程②中与互换得到的，因此我们也把焦点在轴上的椭圆标准方程中的与互换，就可以得到焦点在轴上的椭圆的标准方程：

六、课堂小结，深化定义和标准方程

椭圆的定义	如果，是平面内的两个定点，是一个常数，且，则平面内满足的动点的轨迹称为椭圆
焦点所在坐标轴	轴	轴
焦点坐标	，	，
标准方程
的关系

七、布置作业

人教社B版课本P128练习A

1.设椭圆的两个焦点，，且为椭圆上一点，求的值.

2.设是椭圆上一点，，是椭圆的焦点，如果点到焦点的距离为，那么点到焦点的距离是多少？

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